Tubes de courant

1°: — Un tube infiniment mince est déterminé par quatre surfaces prises deux à deux dans les faisceaux (S 480) :

Les paramètres caractéristiques de ces surfaces sont :

h, À + dx; Hs vu + dy.

Coupons le tube par un [plan perpendiculaire à l'axe des x. Nous

Fe. ae Ro AR Cite et At ES Ce CL ANT ANA A LR FER Lie jA A MARS ME ET Ee RTS ACT Ji Lante EI RE 2€ NL ‘ pl RAC” 1

PE 2% æ AY 4 $- ?

FLUX ET ms TION DES VECTEURS | 575 déterminons ainsi un parallélogramme infiniment petit ABCD (fig. 312), dont il est facile de calculer l'aire. On a :

dS, = dy ds — dz dy!. (1)

®%, — Evaluons la même aire en fonction de x, de y et de leurs variations.

Quand on passe de À à B sur la trace de la surface U(xr,1,23)— On à :

dY dy es SE dy-+ ge ds=0.

dy dy A RE dy dy + “ ds À,

Quand on passe de A à D sur la trace de la surface y(%,y,3)—=ù, on à :

SE dy “ ds =, ny ne dy éo es = du.

Tirons de ces équations les valeurs de dy, dz, dy', dz'; transportons-les dans (1). Il vient :

Fig. 312.

didy = dS, (5 DE pe) A GS.

On trouverait de même : :

FA didy = dS, CS DE ee PT %)= B 45,

dy dY dy 04 SPP didy = dS, (52 dy TT dy Se) Gas.

en appelant À, B, C, les parenthèses, pour simplifier l'écriture.

3. — Que le fluide soit compressible ou non; autrement dit, que le flux soit conservalif ou non, on doit avoir au même point d'un tube de courant :

u dS,=vdS, = w dS,—Q didy,

Q est une fonction de æ,y,3. Ces relations signifient que le flux à travers une section inclinée est égal au flux à travers la section droite du tube. En effet, soit 4 l’inclinaison, &« l'aire de la section droite. L’aire de la section inclinée est 5: cos.

D'après la définition géométrique du tube, la composante du vecteur normale à la section inclinée est U cos 0.

Le flux : Ucosb(s:cos6)—Us, est indépendant de 6.

Du reste, la proposition est évidente; ce n'est pas parce qu’on incline un barrage qu’on modifie le débit total d’une rivière,

On a dohc :: OA. 5-08 #w=D0.

ÆP. — Si le flux est conservatif, Q n'est plus une fonction quelconque de æ, y, z. Il doit rester le même tout le long du tube, puisque, rien ne traversant les parois latérales, le flux est le même, non seulement à travers toutes les sections menées par un point du tube, mais à travers toutes les sections. Donc Q est fonction des paramètres À et y qui caractérisent le tube considéré.

Corollare : on peut choisir le numérotage À et w des surfaces y et y de manière que Q soit une constante, par exemple l'unité. On

a alors : FRE « A v=<R, ET.