Définitions et théorèmes fondamentaux
f°. — Jusqu'à présent nous choisissons arbitrairement les fonctions u,v, #, des coordonnées, qui sont les projections sur Ox, Oy, Oz, du vecteur dont nous étudions le champ.
Nous leur imposons seulement d’être continues.
Nous supposons maintenant qu'elles dérivent d'une fonction V(x, y, z) d’après les formules :
| oV OV OV CE RUES pra LOU © 0 = — .
V est le POTENTIEL du vecteur u, v, w.
Les surfaces : V(æ, y, 3) — Constante, (3) sont les SURFACES ÉQUIPOTENTIELLES. À chaque valeur de la constante correspond une surface du faisceau. Les conditions (1) signifient que le vecteur u,v,w, est normal à la surface qui passe par son point d'application A (s 322).
Le potentiel V est ce qu'on appelle une quantité scalaire par opposition avec les composantes u, v, #, qui sont des vecteurs ou quantités dirigées. Le potentiel est complètement défini en chaque point par un nombre; le vecteur U est défini par trois nombres, ou par une longueur et deux angles, ce qui revient au même. Les considérations qui suivent nous apprendront à faire sortir un champ de vecteurs d'une quantité scalaire définie en chaque point du champ.
Menons par À une courbe quelconque dont nous repérons les points au moyen de l'arc s compté sur la courbe à partir d'une origine quelconque. Soit x, 8, y, les cosinus directeurs de la tangente à la courbe s au point A. La projection du vecteur U sur la tangente à la courbe est :
; V oV aa of to — (ae Dee).
Mais on a (S 403) :
dx dy dz 7 dé ré 17 de à d'où :
dV'dæ:, .0V y oV d oV LE 5% de 9 Po ee FREE € 03 )= OS Cours de Mathématiques générales. — H. ae 37
; ÿ ARE TRS
UES GÉNÉRA
La projection cherchée est le taux de variation (changé de signe) du potentiel par rapport à l'espace parcouru, quand on se déplace sur la direction de projection, à partir du point d'application du vecteur.
Rp: One:
dV: OV OV dG—=udx + vdy + wdz = — CS de ner dy + à d:) — — dN.
La quantité dG&, qu'on nomme CIRCULATION où TRAVAIL du vecteur, est donc une différentielle exacte. Il revient au même d'écrire ($ 21) :
ie de Ôv ne du 020 en dv du CE PDD OUT DATE NT 0
Ces relations expriment que l’ordre des dérivations de la fonction V(x,y,z) n'influe pas sur le résultat.
Les quantités €, x, £{, peuvent être considérées comme un vecteur qui s'appelle le curL du vecteur u,v, w; il est identiquement nul quand u, v, w, dérivent d’un potentiel.
B L'intégrale : [ (udx + vdy + wdz), A
prise le long d’une courbe AB, est la circulation du vecteur u, v, w, le long de cette courbe. Si u, v, #, dérivent d’un potentiel, la circulation (ou le travail) entre les points À et B est égale à :
Gan—— | dV=V, — Vs, A quel que soit le chemin qui relie les points À et B. 3. — La condition pour que le flux du vecteur u, v, w, soit
conservatif, est maintenant :
du de bb DV, OV , DV PART RE z =—( dr? FR dy? se 0z? )=—av—0. (2) Ainsi le flux du vecteur n'est conservatif que si la fonction V satisfait à la condition :
d?V dV d?V PANNE MP Er ol
dite condition de Laplace. Les fonctions V, qui dans un espace donné sont continues ainsi que leurs dérivées premières et secondes, et satisfont à l’équation de Laplace, sont appelées FONCTIONS HARMO- NIQUES. On conçoit leur importance.
#. — Quand il existe un potentiel, le flux à travers une surface quelconque prend une forme remarquable. Menons les normales en tous les points de la surface, vers l'extérieur s’il s'agit d’une surface fermée. Repérons les points de ces normales au moyen d'une variable n mesurée sur la normale. En un point quelconque de la
surface, la composante normale de la force a pour expression (1°) :
