Théorème de Green

Ce théorème est une pure transformation mathématique dont les applications sont nombreuses.

Sa démonstration est identique à celle du K #85; elle repose : 1° sur l'intégration par parties; 2° sur le fait que nous pouvons ($ 21 et 305) changer arbitrairement l'ordre des dérivations ou des intégrations.

Soient V et W deux fonctions de x,7y, z, continues ainsi que leurs dérivées premières et secondes, dans un espace donné,

Effectuons l'intégrale :

ps DV , DV , dV = {ff wave ff f (++ jee.

PENSE TRS She couRs DE MA THÉMATIQUES GÉN ÉRALES a.

étendue à tous “ia dé dots de do laits do compris He une RAGE fermée. On a en intégrant par parties (158, 2)

… ff pp fois La

2\7 e Am de = WT se "oW pue ÔT Ùx

Opérons de même pour les deux autres intégrales, il vient :

Va ee ee OV it >W OV au OV d ee “dz ut ) A

La Hbentité entre parenthèses dans la ue intégrale est le flux de force à travers un élément de surface. Nous pouvons donc

écrire :

ol Wavdo— f [was CE dV', OW VV. , oW:dV = [ffC dx dr Re dy Ùy Tres mr) de.

Telle est la formule de Green.

En particulier, posons W—1, il reste :

DDR

formule que nous avons démontrée directement (K 485).

489. Expression de l'énergie cinétique pour un fluide incompressible.

1°. — Si le fluide est incompressible, la densité est constante et uniforme (invariable par rapport au temps et à l’espace). Admettons que u, v, w, représentent non plus les composantes de la vitesse matérielle, mais celles de la vitesse géométrique. L'énergie cinétique de toute la matière comprise à l'intérieur d’une surface donnée est

proportionnelle à : =$ ff fo+v+u do,

où : est la densité. | Supposons l'existence d'un potentiel V pour le vecteur u, 0, w :

ee (UT

Dans la formule de Green, faisons V et W identiques: elle

IT =f{ "à di ff pvsvas

Puisque le milieu est incompressible {(: constant), le flux est

conservatif :

AV —=0, is ff[vE 57 d

Cette formule remarquable est d’un emploi continuel en Physique.

%, — Supposons l'espace considéré limité par des parois imperméables excepté sur les ( surfaces équipotentielles 1 et 2 v 2 (fig. 314). Le fluide étant 1mcompressible, il en passe né- , cessairement autant à travers ?

les deux surfaces pendant le Fig, 314.

même temps. Soit Dd{ le débit total géométrique ou en volume pendant le temps d£; le débit matériel est oDdt pendant le même temps.

Comptons positivement les normales et les débits dans les sens des flèches ; on à par définition (K 481) :

TON, p=— ff à Ôn, ds — ff Dn, JS:

Les potentiels V, et V, sont constants en tous les points des surfaces 1 et 2, mais leurs taux de variations normales varient d'un point

à l’autre. Avec nos conventions de signes, l'expression de l'énergie »\

cinétique devient Re V,et V, sortent du signe | )

)V, PL iv ff dS: +5 LV [[ es

le débit est compté positivement quand le fluide s'écoule de la surface Î vers la surface 2.

3°. — Pour montrer l'intérêt de ces formules (dont, je le répète, les applications sont innombrables), retrouvons la loi d'Ohm sur l'échauffement des conducteurs.

u, v, w, représentent alors les composantes de la vitesse du courant électrique qui se conduit comme un fluide incompressible. L'équation (1) nous apprend donc que l'énergie cinétique perdue sous forme d’échauffement entre les surfaces 4 et 2 d’un conducteur, est proportionnelle au débit D (intensité du courant), à la différence des potentiels V,et V, des deux extrémités du conducteur, et à un paramètre ° qui est la résistivilé de la matière dont est formé le conducteur.