Théorème de Stockes
1°. — Considérons le vecteur u, v, w, et son curl: Dm Op. de. 0e D de | du 0 De el De Det das es 0
n a évidemment : out. < le flux du vecteur £, n, {, est conservatif. Il est le même à travers toutes les surfaces limitées au même contour : nous pouvons donc parler sans ambiquité de son flux à travers un contour.
Le problème est le suivant : puisque le flux ne dépend que du contour, ne pourrait-on pas l'exprimer au moyen de fonctions définies le long de ce contour? Le théorème de Stockes répond par l’affirmative; 1l nous apprend que le flux du vecteur £, n, €, à travers le contour est égal à la circulation du vecteur u, v, w, le long de ce contour. |
Autrement dit, soit «, £, +, les cosinus directeurs de la normale en un point quelconque d'une surface quelconque limitée par le contour; on a :
DE + n8 + Cy) dS — f(udx — vdy “ wdz) ;
la première intégrale est étendue à la surface, la seconde est prise le long du contour.
AS D démonstration repose sur deux lemmes.
LEeumE I. — Soit ABCD la courbe qui limite la surface; traçons
sur cette surface deux systèmes de courbes
quelconques, la décomposant en quadrilatères
et triangles curvilignes quelconques. La somme
VA des circulations du vecteur u, v, w (supposé (> défini pour toute la surface) le long de tous ee (\ les quadrilatères et triangles, parcourus dans D © le même sens, est égale à la circulation sur T la courbe extérieure.
En effet, dans le premier cas, chaque côté d’un quadrilatère ou d'un triangle, qui ne fait pas partie du contour extérieur, est parcouru deux fois en sens
Fig. 315,
contraires : ainsi chaque tel côté fait intervenir dans la circulation totale deux quantités égales et de signes contraires qui se détruisent.
Leume II. — Le flux total d’un vecteur est égal à la somme des flux de ce vecteur à travers chaque élément de surface.
Ces lemmes sont vrais, quelle que soit la grandeur et la forme des éléments en lesquels on découpe la surface; donc il suffit de démontrer le théorème quand les éléments sont infiniment petits, pour qu'il soit démontré pour une surface finie.
3. — Découpons sur la surface un élément limité par deux systèmes de plans voisins parallèles aux plans x0z et x0y; l'axe des y est dirigé d'avant en arrière, l’axe des x de gauche à droite. Les projections sur les plans coordonnés du petit élément ainsi découpé sont : |
dy dz, dzdx,, dx;dy.
Les deux dernières sont ombrées sur la figure 316.
Le flux du vecteur E, n, €, est égal à :
5 dy dz + dz dx, + dx, dy. (2)
Évaluons maintenant la circulation du vecteur u, v, w, le long du parcours ABCD.
Considérons, par exemple, le vecteur v; il n'intervient que dans les parcours AB et DC, puisqu'il est normal au parcours AD et CB. Évaluons sa valeur moyenne pour ces FE c'est-à-dire sa valeur en leurs milieux (comparer au K 481, 2%); appelons v la valeur au point A.
En 4 milieu de AB, il est :
Fig. 316.
si Ôv dy.
Set N NA QAR TER
En 6 milieu de CD, il est :
| dv dv dy |; dv Tr DE dep dy 2 + ds |
La circulation totale du vecteur v est :
— 0, dy +, dy =— Se © dy dz He dr, dy.
C'est précisément par ces termes que v entre dans le flux (2), si l'on suppose satisfaites les conditions (1).
On procède de même pour la circulation des composantes u et w: le théorème est donc démontré.
#. — I] résulte de là que nous pouvons arbitrairement nous donner un vecteur u, v, w, dans un champ et remplacer sa circulation le long d'une courbe par le flux d’un autre vecteur £, 1, €, à travers une surface quelconque limitée par cette courbe. Ce second vecteur est complètement déterminé, et son flux est conservatif; autrement dit, sa divergence est nulle.
Mais la réciproque n’est pas vraie : nous ne pouvons pas prendre arbitrairement le vecteur =, 1, {; son flux doit être conservatif. De plus, le vecteur u, v, w, dont il est le curl, n’est déterminé qu’à une fonction arbitraire près. Les vecteurs :
OV OV dV
"dx ? Pr ÈS WEET 0z ?
où V est une fonction quelconque de x, y, z, satisfont également aux conditions (1).
C'est évident d’après les équations (1) et aussi d’après la nature du problème : nous ne pouvons en effet remplacer une circulation qui ne dépend que d’une courbe, par un flux à travers une surface limitée par cette courbe, que si le flux est le même pour toutes les surfaces satisfaisant à cette condition.
u, U, W, et u —
