Solutions particulières

d: ER d?z d?z 8 OR | L'équation : R,, +28 dre +T De 0, (1) admet l'intégrale particulière :

3 — a, sin | n(Vy + x) — à,|, (2)

qui rentre dans la forme générale (2) du K 493. Nous avons déjà fait observer qu'en vertu de la forme linéaire de l'équation (1), la somme d'autant de solutions particulières qu'on voudra est une solution. Nous savons, d'autre part ($ 265), que toute fonction périodique de x peut êlre développée en série de la forme :

ee 3— A+ a, sin (nz— 2.) (3)

Nous concluons que toutes les fonctions périodiques qui satisfont à l'équation (1), peuvent être mises sous la forme :

00 : y 4 © j F : ges FAT > a, Sin | nViy + x) — a | + a", Sin La(V y x) — à qe

contenant les quatre infinités de constantes : a,, 4,, 4,, #,.

Comment sont déterminées ces constantes est une question que nous ne traiterons päs ici; nous renverrons au Cours de Mécanique physique, qui contient de nombreux exemples, et où les quantités se trouvent concrétisées en notions expérimentales.

| cours DE Ma THÉMATIO 1 À

ne 499. ons qui se ramènent # Téquation ions. | 560 du second ordre.

1°. — Dans la propagation des ondes, on rencontre l'équation d(xZ d(xZ é FE Sn E — SA (1)

Nous en avons immédiatement la solution générale : Le LVy x},

où / représente deux fonctions arbitraires, une pour chaque signe.

dZ 4: d On a : RER Pre 0e La = VyS, 2%. — On rencontre aussi l'équation : | d2z d / dz 23 | ’ dy? ES ts +4); (2) l'intégrale générale en est :

1 Der ei 2= 3 FO 77 (VU

Les équations (1) et (2) reviennent donc exactement au même, à la condition de poser :

re D =, dx x 3°. — L'équation du premier ordre :

0z 0z * rentre comme cas particulier dans l’équation : d?z d?z dy? ERA dr?

En effet, dérivons (3) successivement par rapport à x et à y: d°z d?z d?z d?z + d?z d2?z dy dr RMC. PTE dx dy ? CORNE pe

La solution générale de (3) est : z—/f(Vy + x).

On trouverait de même : z—/f(Vy—x), comme solution géné- 0z 0Zz

Le Toutes ces remarques sont capitales dans les théories des cordes Pe vibrantes et des tuyaux sonores.

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