Établissement de l’équation

Les équations aux dérivées partielles sont le mode naturel d’expression des conséquences des lois physiques. Elles déterminent, non pas le détail d’un phénomène particulier, mais les conditions générales de tous les phénomènes de même nature; d’où les fonctions arbitraires que contiennent les intégrales, fonctions qui sont déterminées par les conditions particulières imposées.

Nous allons montrer la nature du problème sur un cas simple et

Fig. 48.

dont le lecteur pourra suivre la discussion sans être versé dans l'étude de la Physique (fig. 318).

Imaginons une barre cylindrique dont la température T est la même en tous les points d’une section droite AB, mais varie d’une section à l’autre et d’un instant à l’autre :

T mit, t).

Il s’agit de trouver les conditions générales auxquelles la fonction T (x, ©) doit satisfaire, indépendamment de toute autre spécification.

Posons, comme le veut l'expérience, que la quantité de chaleur qui traverse dans le temps dé la section AB est proportionnelle : 1° au taux de diminution de la température, 2° à l'aire s de la section droite de la barre, 3° au temps dt. Du reste, ce sont les hypothèses les plus simples. Elles s'expriment par l'équation :

OT hQ=—ks—— dé.

À travers la section CD, la formule précédente sera applicable en remplaçant +, par + + dx ou T par :

? 2 T+ dr; d'où : dQ=— hs + SE dr)dt

La quantité de chaleur qui reste dans l'élément de volume ABCD, est la différence entre ce qui entre et ce qui sort : OT AQ—dQ=Rk—;z sd dt,

Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 38

Ce qui précède revient à dire que la température Joue le rôle d’un potentiel par rapport à la vitesse de propagation de la chaleur (K 485). Les surfaces équipotentielles ou isothermes sont, par hypothèse, les sections droites du cylindre.

La quantité Q joue le rôle du débit en Hydrodynamique (K 481).

De cette chaleur, une portion se perd à travers les parois latérales. Posons qu’elle est proportionnelle : 1° à la température, 2° à la surface latérale, produit du périmètre p par la longueur dx de l’élément, 3° au temps dt : p ÀT dx dt.

La seconde portion sert à échauffer le petit volume. Soit la densité, c la chaleur spécifique de la matière employée, (OT : df)dt Vaccrobsement de température au même endroit (dr —0) pendant le temps df. On a en définitive :

À } dx?

Supprimant les facteurs communs, il reste :

=. 0T = Ces sr + PAT. (4)

hs Telle est l'équation aux dérivées partielles à satisfaire dans tous les cas, quel que soit le phénomène particulier considéré, pourvu qu’il rentre dans la définition générale qui vient d’être Donnée. Suivant les conditions particulières imposées, nous serons conduits à choisir des intégrales de formes très diverses qui auront en commun de satisfaire à l'équation (1) plus ou moins simplifiée.

s dx dt = pET dx dt + ce de dx dt.