État permanent

1°. — Supposons l’état permanent atteint ; T n’est plus fonction du temps ; la température ne dépend que du point de la barre considéré. Écrivant pk':sk—}, on a ($ 283, %) :

24T dx?

On détermine les constantes en posant que la température est T, à l’un des bouts de la barre (æ—0), T, à l’autre bout (x—l). D'où les conditions :

T—A+B, T,—Aet Be”,

2. — Supposons la barre assez longue. On peut admettre qu’une des extrémités ne change pas de température. Sa température est donc celle du milieu ambiant : nous l’avons prise pour zéro, puisque nous écrivons le refroidissement proportionnel à T. Exprimons donc que pour de grandes valeurs de la variable !, on a :

T2: il vient : A0

WT, T—Ac*t+ Bet.

sm AT

L'excès de température en un point quelconque de la barre est donné par la formule :

On reconnaît la loi élémentaire déterminant la température : quand la distance à la source suit une progression arithmétique, l’excès de température de la barre sur la température extérieure suit une progression géométrique.

502. État variable sans perte latérale; variation périodique de la température à une extrémité.

1°. — Supposons la perte latérale nulle. L'équation s'écrit : oT ÔT WA DE (4)

L'intégrale peut prendre une infinité de formes ; il existe une infinité de solutions particulières correspondant chacune à un phénomène déterminé. Par exemple, on vérifiera que :

j 1 om az sin (ot — arVo — A); (2)

satisfait à l'équation (1).

Pour æa=07 Tec T, sin (ot — a )-

La solution (2) correspond donc au cas où l'on impose à l’origine æ—0, une variation sinusoïdale périodique de la température ; la période arbitraire est 7+— 27 : «.

2%. — Mais l'équation (1) étant linéaire, la somme d’un nombre quelconque de solutions particulières est une solution. Nous savons, de plus ($ 265), que toute fonction périodique se met sous la forme d'une série trigonométrique. Remplaçons donc w=—2x : -, par 2w, 3w..., now, où + est la période du phénomène; nous obtiendrons pour la température imposée à l’origine la fonction périodique quelconque :

TT, sin (of — à) + T sin (2ot— 4) + … =/ (0)

et pour la température en un point quelconque de la barre :

TN Ty e= ave sin (not — axVno — an). (3)

La fonction périodique f({) étant donnée, la double infinité de paramètres T,,4,, peut être calculée, et par suite on connaît l'intégrale (3).

Ce qui précède est un exemple d'intégration par série, et nommément par série trigonométrique. Dans la pratique, on s’arrangera de manière que la fonction f(t) soit représentable par un petit nombre de termes, ce qui réduira la série (3) à ce même nombre de termes.

596 Ê co URS DE MA EME TI UES GÉNÉRALES