HA +. LE

T 2 Ÿ sin nTT L—— (—1)"- per ‘ (4)

Je dis que la solution cherchée est :

2 22{ s - T=e+id (ir exp(— 5 ) fs,

En effet, pour æ—0 et pour æ—1, tous les termes de la série s’annulent. Il reste, quel que soit £ :

LV pourv=0s. T1

Pour t—0, on a :

) :POUr LE,

Top N'(ay 0

Les conditions imposées sont donc satisfaites. d°. — La température tend vers une distribution linéaire. En effet,

si { est assez grand, tous les termes s’annulent quel qué soit œ, il reste : |

Tr.

2. RUES ART, APR Lex « De AE 29" LS PL TRAD 8/8. TPS fie Er lu. ui 2 2 sr Me ATIaE ie UN Te CPE SR NN Ps : | NT. | A! Fes ES AE: RÉ op TRE AIR ÉUA NS CM age ROSE oi PAR | 7, Tr, be? # x ha À LP eh AE dacre Fra Frs TAN CAT , “3

L'intensité du courant est proportionnelle au taux de variation :

= 12 Ni prexp(— Tr.) COS NTT.

rl Posons : ex p(— = u.

2at On a : pour ==, i—m1—2{u—ut+u—us+...); pour 2-4; i—1+2(utut+u +...)

La solution précédente est purement théorique. Discuter le phénomène sur une telle série est quasiment impossible ; la difficulté est du même ordre que d'étudier les propriétés d’une droite sur la relation (1). La série (1) est très lentement convergente; d'après la nature même du problème, il est impossible de limiter a priori le nombre des termes à considérer, ce qu'on pouvait faire au paragraphe précédent.

504. Même équation; solution sous forme d’intégrale dont une des limites est variable.

1°. — Posons : pis F(D,

Cherchons à quelle condition T deviendra fonction de z, cessera de dépendre de x et de £ autrement que par la combinaison z. S'il en est ainsi, T restera constant chaque fois que z le sera, quelles que soient les variations simultanées de x et de é.

Considérons T comme fonction de 3. On a :

EU Re À: Ôz OT: TT / 04 \* dT Ôù?z dx dz dx? Or? — Ùz? 3) Vo: ’ OT: : AT, ds DO: dE dl:

Substituons dans l'équation aux dérivées partielles du K 502 :

d@T/dz\? dT/d?z r Ù3 dé +) ne ae — 2 7).

S1 la fonction / est choisie de manière qu'on ait :

d?z TE dz (S |

0x? PU — dr.

? » ® » d » . 2 PE »

l'équation aux dérivées partielles (1) du K 502 sera transformée en l'équation différentielle ordinaire :

æŒT adT de 96) —0 2%. — Posons en particulier :

Mo: 0 a d?z 0z ax

dE. dr VX’ Bus —=Ù; DÉS. Qi Var: (1)

VONT NET, re

On trouve l'équation différentielle :

ΨT dE PR Tdi

qui admet l'intégrale :

Te Le. (2) VF En effet ($ 153) :

5 E Ce D SR PES ARE “da. ro dE Te 2%. — Nous avons donc en (2) une solution particulière de l’équa-

tion aux dérivées partielles. Elle implique que T reste constant chaque fois que z reste constant : nous retrouvons la même température pour des abscisses x de la barre et pour des temps té liés entre eux par la relation (1). Cette solution correspond à une expérience particulière qu'il s’agit de préciser.

Pour z—0 (à l'origine des coordonnées quel que soit £, pour une valeur infinie de { quel que soit x), on a: T—1.

Pour un temps nul, quel que soit +, on a : z—cc. Nous savons

que ($ 309, f°) : miel dt r: don: Fat Donc à l’origine des temps, la barre supposée indéfinie est à la température 0. Brusquement on porte l’origine æ=—=0, à la tempé-

rature 1, et on l'y maintient indéfiniment.

L'équation (5) fournit la température en tout point de la barre et pour un temps quelconque, par l'intermédiaire de la variable 3. La même valeur de z correspond aux valeurs de æ et de { qui sont reliées par l'équation (1).

Pour un temps infini, on a T—1, en tous les points de la barre.

En chaque point la température, sensiblement nulle pendant un certain temps, croit d'abord vite, puis lentement, et tend vers une limite naturellement égale à l’unité, puisque par hypothèse il n'y a pas de perte latérale.

Si les séries sont plus avantageuses quand les conditions de l’expérience permettent de n'en considérer qu'un terme ou qu'un très petit nombre de termes, il est beaucoup plus commode de discuter la nature d’un phénomène sur une intégrale. Cette remarque est générale : personne ne reconnaîtra dans la série qui représente un sinus le caractère périodique de la fonction.