Intégration par les séries

1°. — Cherchons à exprimer l'intégrale de l'équation :

o?T OT GA = dd) (4)

par un développement en série suivant les puissances croissantes et entières de {. Posons :

T= po) ++ qe) +5 le) +

où ©, 1, 2... sont des fonctions à déterminer.

M ga) + Lo!) + gg a) + = af) + of) + 1 He) +

Identifions : o—9", mp9", psg —p",.….

D'où la solution :

Tape) + + ge) + 5 9e) + (2)

La fonction o(x) reste arbitraire.

X, — Cherchons à exprimer l'intégrale par un développement en série suivant les puissances croissantes et entières de x. Posons :

Ty) + D U(9 + 0) + 57 HO +

ne = (0 + À HD +5 NO + D = VO HT HO + HO +

" . . RTE LES À SEE Len 4 Identhons :: dt, ‘bd, : deb d".….

D'où la solution :

œ ANNE 7 3 T = (6) + À D(£) + 72 VOET- ST 3 Y(0 + (3)

Il y a deux fonctions arbitraires 4(£) et 4,(6). Remplaçant les deux fonctions par des développements en série suivant les puissances croissantes de {, on démontre aisément que les intégrales (2) et (3) rentrent l'une dans l’autre, bien que l’une contienne une fonction arbitraire et que l’autre en contienne deux.

506. Solution sous forme d’intégrale à limites fixes. Vérifions que l'intégrale définie :

+ oo T=— À. o(æ + 2zV/t je” “dz, (4)

est une solution de l'équation (1). Prenons par exemple le signe +. La fonction © dépend de la variable auxiliaire w—æ—+22Vt.

dp dpor pp,

On a TU LE DT = Dai 4; | dp de z do 7 pi Ep ep dé do Ve 02 ÔE? 1 def 0; 4F

Pour que (4) satisfasse à l'équation du $ 505, 1l faut qu'on ait identiquement, d’après les règles de la dérivation sous le signe [ par

rapport à un ou plusieurs paramètres servant de variables (S 301) :

se do d°9 — 22 1 | sa ù do — 2° re , (SE) di; Ë (Ses — F2 Je dz = 0.

ù 2 Ô LS 0° ET Or on a : Le 2z dz — d — ie ++ e dz.

Pour que la proposition soit vérifiée, il suffit donc que la quantité entre crochets s’annule pour +.

507. État variable avec refroidissement latéral. 1° Etudions une solution particulière l’équation complétée :

dT ‘T Due — 24 or EL RT (1) On vérifiera qu'il existe une intégrale de la forme : += Tt,e "sin (oË — 42 — 2%). : (2)

Substituant (2) dans (1), on trouve les conditions :

! 9 F, . 19 LS Up ao; L— + PL + ato? , W°— GE — ao? .

Si b—0, ïilvient: p—y—aVw, conformément au $ 502.

Pour æ—0, T—T,sin (wt— %).

La solution brécédente convient donc au cas où la barre subit un refroidissement latéral, et où on impose une variation sinusoïdale périodique à l’une des extrémités. La période arbitraire est

2%. — On peut généraliser la solution en additionnant autant de solutions précédentes qu'on veut. Par exemple on impose, non plus une variation sinusoïdale, mais une variation périodique pouvant se représenter par la série :

. TT, sin (oé — à,) + T, sin (2w{— x) + …

limitée à un très petit nombre de termes.

La solution se compose d’un même nombre de termes de la forme (2), dans lesquels w est successivement remplacé par o, 20, 30,

Équations aux dérivées partielles de lOptique.