Nature des solutions utilisées en Optique
Les équations aux dérivées partielles rencontrées en Optique sont fort compliquées. Leur intégration ne présente cependant aucune difficulté, parce qu’on se borne à des solutions qui correspondent à des ondes planes plus ou moins absorbées.
1°. — Considérons l'expression :
P—(A+-Bi)exp}— (ae + fy + 3) + ilot — (ar + 8y+y3)f (1) Posons : aa + y + yz—d",
La quantité (1) s'écrit :
P—P,exp | — d'+i(wt— D)].
On vérifie immédiatement que la dérivation par rapport à une
variable (x,y,3,ou {) consiste à multiplier par le coefficient de la variable. Ainsi :
d?P D = (+ )P, D (a + ia) P 2% — Soient P, Q, R, les composantes d'un mouvement suivant
les axes Oz, Oy, Os ; P— P,exp[—®'+i(ot—®)|, Q=Qexp[— 9" +i(wi—®)], R—R;exp[| —dD'+i(ot—®)].
Par définition, le mouvement que représentent ces équations est dit se propager par ondes planes plus ou moins absorbées.
Pour obtenir le mouvement réel, on fera le partage des quantités réelles et des quantités imaginaires, et l'on ne conservera que les quantités réelles.
Soit, par exemple : P,—P',(coss tisine).
On a (K 230) :
expi née 6) 2008 (at (ot — D), P,expi(wt— ®D)—P',cos (wt—P+; PRIE sin (ot— P +).
Les quantités réelles sont de la forme :
P'—P',exp (— D) cos (of — P — bp).
3°. — Ceci posé, soit un système d'équations aux dérivées partielles quelconques, mais linéaires et à coefficients constants. Il s'agit de trouver une onde plane P, Q,R, qui lui satisfasse. Comme nous l'asons dit plus haut, les dérivations sont immédiatement effectuées ;
quelles qu’elles soient, elles laissent toujours en facteur la même quantité variable :
exp| — D'+i(ot—D)|, qui s'élimine d'elle-même.
On obtient en définitive un certain nombre de conditions à vérifier identiquement, entre les coefficients P,, Q,, R;, &, 8, y, à, &', Y,w, qui figurent dans l'expression de l'onde, et les coefficients des équations aux dérivées partielles.
Ces conditions expriment les lois physiques.
L'intégration consiste donc à écrire des relations obtenues par substitution directe; il n’y a ni tâtonnement ni difficultés.
#. — Pour fixer les idées, prenons l’exemple simple : 0?P PQ 0°R DA AP, "SAT a AQ, Se —4AR;
d? d? d2 — CRT Fox:
On a immédiatement :
d®P d°P RER Sr =—(A+B)uP; (A+ Bi) (a + ia) P;...
Substituant dans la première équation, il vient : (A+ Bi) P So + [ (a a) + (8 +8) + (7 ip] att = 0. On a une solution en posant :
d—=pf—=y=0, a (ft +") —=0!.
Elle correspond à des ondes planes propagées sans absorption.
510. Simplification des solutions des équations aux dérivées partielles.
Dans un très grand nombre de cas, le temps est une des variables indépendantes, et l’on cherche les solutions périodiques par rapport au temps.
L'expérience prouve même qu’en Optique, à la précision actuelle de nos expériences, on peut admettre que les phénomènes périodiques sont sinusoidaux. D’où résultent des simplifications immédiates dans l'intégration des équations aux dérivées partielles.
Soit, par exemple, l'équation :
020 1 O2 d20 De To de D
Posons : w— uw, Weïv!, où W est une fonction de x indépendante du temps.
La solution de l'équation aux dérivées partielles est ramenée à celle de l'équation différentielle :
d\W 1 dW :
"des: dx —ivaW.
Voici un second exemple emprunté à la théorie des lames vibrantes :
0? dt PAU PS 2 REA dE? ee dx* n Posons encore : vw — w Weïvt, où W est une fonction de x indépendante du temps. On trouve :
d'W ©? W — a? es ,
équation différentielle étudiée au $ 285.
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