Fonctions y—2", y'—x, pour rx positif, entier

et pair (paraboles). Toutes ces courbes passent par le point æ—1, y—1 (point P, fig. 23). Si une courbe du faisceau 1, y—x", est connue, la

e wW 77 Ti te a #2 g AS œ’ Q U'h ’ P sd eZ CG D) -x 0 1 + A U R S wW V" J € e’ 2 par 4 À Fig. 23.

courbe y"—zx, correspondante du faisceau IT, l’est immédiatement, puisqu'elle traite Les y et les æ comme la précédente traitait les x et les y : les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite OP d'équation y—x.

Par hypothèse n est pair; donc la courbe y—2x" a les mêmes ordonnées pour deux valeurs de æ égales et de signes contraires : elle est donc symétrique par rapport à Oy. La courbe y"—x, a les mêmes abscisses pour deux valeurs de y égales et de signes contraires : elle est donc symétrique par rapport à Ox.

On a pour le premier faisceau ($ 13) :

D = na; Le HE pour æ—0Ù.

Donc toutes les courbes de ce faisceau I sont tangentes à Ox au

Qu" COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

point O. D'où résulte que toutes Les courbes du faisceau IT sont tangentes à Oy au même point.

Quand on élève à la puissance n une quantité inférieure à l'unité, elle est d'autant plus petite que nr est plus grand. Quand on élève à la puissance n une quantité supérieure à l'unité, elle est d’autant plus grande que n est plus grand. Donc la courbe 4P+0, qui est audessous de aPcO pour æ<1, est au-dessus pour æ>1.

Elle correspond à y—x*, tandis que l’autre est une parabole ordinaire et correspond à y—#x?.

Les deux courbes %PyO et 2PcO correspondent à y*—x et a; = TZ.

A mesure que n croit, la déformation continue dans le même sens. Pour n très grand, l’ordonnée de la courbe y—2z" est quasi nulle pour toutes les valeurs de x<1, est très grande pour toutes les valeurs de x=>1. La courbe se rapproche de la forme TUOVW. Corrélativement, la courbe y*—zx se rapproche de la forme T'U'O V'W.

La pente des courbes au point P est donnée par la formule :

dy (SE) He = N.

Elle croît avec n, comme cela résulte des considérations immédiatement précédentes.

REMARQUE

Les fonctions y—Ax", y"—Ax, se déduisent de celles qu'on vient d'étudier, par une dilatation convenable des abscisses et des ordonnées. Il est évident qu'on tire y—22?, de y—x?, en doublant les ordonnées pour les mêmes abscisses. |