Contacts de divers ordres d’une droite et d’une courbe

1°. — Reprenons la fonction y—Ax", où n est entier. Nous savons que la courbe (faisceau I des paragraphes précédents) est tangente à Ox pour x—0. KEtudions la manière dont elle se comporte par rapport à Ox, au voisinage du point 0. Pour cela, remplaçons la courbe 7y—Ax", par :

y —=Ax(x — a)(x — b)…., (4) où a, b, ..… sont des quantités arbitraires et très petites. Pour sim- Ÿÿ ÿ AR PaT It 22087

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0 a Nate Re,

Fig. 25.

plifier, nous les supposerons toutes positives ; elles sont rangées dans l’ordre des grandeurs croissantes.

Chaque fois qu’en croissant x traverse une des valeurs à, b, c, … le facteur correspondant : %—a, æ—h, .… passe d’une valeur négative à une valeur positive; la fonction y change de signe:

Deux cas à considérer : n pair et n impair. Les courbes correspondantes sont représentées dans la figure 25; elles supposent n—4 (à gauche), n—3 (à droite). Nous résumons les résultats en disant que la droite y—0 coupe la courbe (1) en autant de points qu’il y a de facteurs; le nombre des points d’intersection est n.

. — Faisons décroiître les quantités a, b, c, ...; les boucles s'atrophient. À la limite, quand a, b,c,... s'annulent, on retombe sur la courbe y—Ax". (Généralisant l'énoncé, on dit que la

PRE PRE + FOR Mrs Ses PURE

FONCTIONS ALGÉBRIQUES 53 courbe y—Ax" possède avec la droite y—0 un contact d'ordre n. Si le contact est pair, la courbe reste du même côté de Ox, de part et d'autre du point O (au-dessus si A>0, au-dessous si A <0\)

Si le contact est impair, elle passe d’un côté à l’autre. n—1 correspond à la simple intersection; n—2, à la tan-

D 1-1 n=2 F 7-5 (8) 0 0 G H /ntersecbon Zengence /r/Texr0n Fig. 26.

gence ordinaire; n—3, à l’inflexion. Ce sont les trois ordres de contact qui interviennent habituellement (fig. 26).

3°. — Cherchons comment se comporte la dérivée dans les trois cas :

YA", = — Anar

Le contact de la dérivée avec la droite Oxest d'ordre n-—11{$ 43).

Pour n—1, la dérivée est constante, la pente de y est invariable.

Pour n—2, la dérivée est une droite qui passe par l’origine. Elle s’annule alors, indiquant un maximum ou un minimum de la fonction. On constate, en effet, que la pente de la courbe y varie toujours dans le même sens : négative et très grande en valeur absolue sur l’arc AB, elle croît, s’annule au point O, continue à croître pour devenir positive et très grande sur l'arc CD.

Pour n—3, la dérivée est une parabole : elle présente un maximum pour æ—0. La pente de la courbe y, négative et très grande en valeur absolue sur l'arc EF, croît et s’annule au point 0. Mais elle recommence alors à décroître.