Généralisation

1°. — L'allure des courbes au voisinage de l’origine resterait la même si, au lieu de y—Ax", on avait :

Y = Axz'o(x),

où o(x) est une fonction continue quelconque à laquelle nous imposons seulement de ne pas s’annuler pour æ—0; o() 2 0. Assurément les ordonnées de la courbe sont modifiées par l’action

du facteur ox); mais la nature du contact ne l’est pas. C'est évident d’après la figure, puisque la nature du contact ne dépend que du nombre des points d’intersection de la courbe par la droite y—0, points confondus au point O. Le facteur o(x), qui ne s'annule pas pour æ—0, ne modifie pas ce nombre.

On peut aussi considérer que la nature du contact dépend du nombre des dérivées d'ordres croissants qui s’annulent en même temps que la fonction, nombre que ne modifie pas la présence de o(æ). Nous reviendrons plus loin là-dessus ($ 43).

%%. — La fonction : y—A(x—a)"o(x), se traite comme la précédente.

Posons en effet : x—a—=X; elle devient : y = AX"o(X + à).

Nous transportons ainsi l’origine des coordonnées du point O au

C4 77 2 \ æ a DE ——————— — — = 0 0° D ZX Fig. 217.

point O’ tel que O0’—a. Le point A, par exemple, qui avait les coordonnées æ—BA, y—DA, conserve la même ordonnée y, mais prend la nouvelle abscisse (fig. 27) :

X — CA — BA — BC—x— a. :

Nous raisonnons sur X comme précédemment sur æ. La fonction o(x), qui ne s’annulait pas pour æ—a, ne s’annule évidemment pas davantage pour X—0.

35. Fonctions yx"'—1, y'"x—1, pour n positif et entier (hyperboles). Les courbes yx"—1, zxy"—1, sont symétriques par rapport à la droite y—x; nous ne considérons que les premières pour simplifier les figures. | Si n est pair, y ne change pas de signe quand.on remplace x par —x; donc la courbe se compose de deux branches symé-

briques par Oo ré a té, 28). Si n est impair, y change de signe; la courbe se compose de deux branches symétriques par rapport au point O (fig. 29).

Quand x tend vers 0, y croît indéfiniment : on dit que le courbes

W ; ÿ pu T 2 par ol P BEA CEE «tt 0 por Tea s NOUE oun us “pif V U 0’ Fig. 28.

admettent Oy pour asymptote. L’asymptote est une droite dont on s'approche indéfiniment sans jamais l’atteindre, quand on s'éloigne

Y i T 2 Împair 0” V 0 LÉ ENRS 0' L2 Q À W Fig. 29.

indéfiniment en marchant sur la courbe. On peut encore dire que l’asymptote est la tangente en un point de la courbe qui est injiniment éloigné.

Quand x croît indéfiniment, y tend vers 0; done les courbes admettent également Ox pour asymptote.

Par rapport à son asymptote, la courbe peut se conduire de deux manières différentes qui correspondent aux contacts d'ordre pair et d'ordre impair étudiés au $ 33. Faisons décroître æ d'une valeur très légèrement supérieure à 0 à une valeur très légèrement inférieure. Si n est pair, y passe par la valeur conventionnelle infinie oc (quantité plus grande que toute quantité donnée à l'avance), en restant positif.

Si n est impair, y passe par l'infini en changeant brusquement de signe.

Il ne faut pas voir là une discontinuité réelle; nous retrouverons souvent ce passage brusque de oc à —oc, ou inversement. Par exemple, deux droites parallèles sont censées se couper à l'infini; mais il est impossible de dire de quel côté.

Comparons deux courbes d'un même faisceau, pour des valeurs différentes de n : il suffit de les étudier dans le quadrant xOy. Elles passent toutes deux par les points P et Q. La courbe de plus grand n est au-dessous de l’autre pour æ>1; elle est au-dessus pour OÜ<x<1. A la limite, pour n très grand, la courbe se confond avec TUO'O"VW.

Nous étudierons en détail ($ 117) la courbe xy—1, qui est l'hyperbole équilatère asymptote aux axes.