But des mathématiques

Le but des mathématiques est l’étude des fonctions, de leurs représentations et de leurs corrélations géométriques. Leur utilité pratique provient d’une sorte de division du travail entre les expérimentateurs (physiciens et ingénieurs) et les mathématiciens proprement dits. Ceux-ci se sont proposé l'étude des fonctions in abstracto et de certaines fonctions particulières. Ils ont ainsi créé, en apparence, indépendamment de tout souci utilitaire, par des procédés au premier abord complètement artificiels, une sorte de musée de fonctions où les expérimentateurs viennent chercher ce dont ils ont besoin pour la représentation et l'étude des phénomènes.

Bien entendu, aucune de ces fonctions continues ou discontinues n'est la représentation rigoureuse des faits; mais on peut trouver parmi elles une représentation schématique, approchée, de première approximation. Il ne faut done pas que le lecteur s'arrête au caractère nettement artificiel de toutes ces constructions : ce sont comme des ensembles de raisonnements passe-partout qui, solidement établis, n'auront plus à être indéfiniment recommencés. Peu importe com-

ment. on les introduit pour la première fois, pourvu que ce soit simplement et clairement. |

Quand les fonctions ont une importance particulière, on leur donne des noms ; par exemple, nous parlerons du cosinus ou du sinus d’un arc. Mais il ne faut pas que le lecteur prenne le change : les fonetions nommées n’ont pas des propriétés essentiellement différentes des fonctions innommées. Que celles-ci pour une raison quelconque deviennent plus usuelles, on leur imposera un nom.

En définitive, pour nous physiciens et ingénieurs, tout aboutit à des calculs. Une fonction sera donc applicable quand nous en aurons construit une table numérique : de notre point de vue, c’est là sa véritable existence. Il nous importe généralement assez peu de savoir comment en réalité on a construit la table, de quelles séries ou de quelles formules d'approximations successives on s’est servi; mais il nous importe de concevoir l'opération comme possible.

Le calcul différentiel nous apprend à étudier les fonctions indépendamment de toute définition particulière. Il représente des opérations non effectuées et qui ne pourront l’être qu'après spécification du problème particulier à résoudre. On trouvera donc partout deux ordres de questions : l’étude des méthodes, l'application de ces méthodes.

Ces considérations deviendront peu à peu évidentes.