Notion de limite, position limite

Soit une courbe dont les points sont repérés par la distance OA —s, à un point O pris pour origine. Ce sera, si l’on veut, le rail d'une voie ferrée dont les di-

mensions transversales sont

D indéfiniment réduites ; les

à A B points de ce rail sont repérés par leur distance à un point O,

0 © distance mesurée sur le rail même. Un mobile se déplace Fig. 3. sur la courbe avec une vitesse variable. Nous nous proposons de définir la direction et la grandeur de la vitesse à chaque instant, et par conséquent en chaque point A. Nous admettrons, {personne ne mettra le fait en doute), que le mobile possède à chaque instant une vitesse de grandeur et de direction parfaitement déterminées. Considérons un point B voisin du point À, situé à une distance As du point A. Le symbole d’aceroissement À signifie que pour obtenir le point B à partir du point À, il faut ajouter, à la grandeur s qui caractérise le point À, un accroissement, une différence As. Le mobile qui passe en A au temps f, passe en B au temps 4 At. La vitesse du mobile entre les temps £ et {L Af, ou encore entre les positions s et s- As, a une direction qui n’est pas exactement

si à qu, est parfaitement A dès que nous avons fixé e point B. D’ autre part, nous pouvons admettre que la direction vraie Ge , e la vitesse au point À s'approche d'autant plus d'être la direction LS

À * AD que B est plus voisin de A. Le problème consiste donc à déter- miner cette direction quand le point B s'approche ixpériximexr de À : 54 % ER définition, c'est la rimrre de la direction AB. F2

= Nous rencontrons ici une première application des considérations CEA S énérales qui précèdent. S'il s’agit d’une courbe expérimentale réel- é. lement tracée, le problème n'a pas de solution précise. On sait l'impossibilité de fixer la direction d’une sécante quand les points d'inter- DURE section avec la courbe sont très rapprochés, ne serait-ce qu'à cause de. l'épaisseur du trait. Mais les mathématiques fournissent des 74 | courbes idéales, sans épaisseur, dont les courbes réelles ne sont que EE la représentation grossière et dont les points sont définis par une | 2 ile rigoureusement déterminée. Sur ces courbes nous faisons non pas une construction graphique, mais un raisonnement. Si la courbe expérimentale peut être assimilée à la courbe idéale (à l’approximation des expériences), notre raisonnement vaudra pour la courbe réelle à la même approximation.

Voiei deux exemples qui montreront comment, de la définition géométrique des courbes, il est possible de tirer la position limite de la sécante. |