COURBE ASYMPTOTE

Pour de grandes valeurs de +, la courbe (1) se réduit à :

y — ax", (2) avec une approximation qui croit à mesure que æ augmente. En effet, les coefficients à, b, ... sont finis. Comme nous sommes libres de

faire croître x au delà de toute quantité donnée à l'avance, x" deviendra, autant que nous le voudrons, plus grand que x" et, a fortiori, que zx?, x. Alors même que nous supposerions a petit devant D, .., d,e, le terme ax" finira toujours par l'emporter. La courbe (2) est asymptote de la courbe (1). En s’éloignant sur la courbe (1), on se rapproche indéfiniment de la courbe (2) sans jamais l’atteindre. On peut dire que la confusion s'opère à l'infini. Si m est pair, la courbe asymptote (2) est une des courbes du faisceau I du $ 31; si m est impair, c'est une des courbes du fais-

ceau I du $ 32.

3°. — Pour les très petites valeurs de x, la courbe (1) se confond avec : y —= ext + f, d'autant plus exactement que x est plus petit, et alors même que e serait grand devant a, b, ..., d. C’est le même raisonnement que plus haut, mais en sens inverse.

#4. — On a généralement :

DE mar nb +. —+ get 1.

La dérivée est finie et continue pour toutes les valeurs finies de z. Pour aucune valeur finie de la variable, la pente m ne devient infinie : la tangente à la courbe n’est jamais verticale. La dérivée m°”* est une constante; la dérivée m+1*"%* est nulle. La fonction entière a toutes ses dérivées continues et finies pour toutes les valeurs finies de la variable.

37. Intersection de la courbe (1) par une droite horizontale.

1°. — Soit m pair. Pour des valeurs suffisantes de æ, nous savons

que la courbe se réduit à la courbe asymptote y—ax”" (dans la

su 1 COURSE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

figure 30, nous supposons 4-0); elle est donc formée de deux branches A’A ..., B'B ..., d'autant plus exactement symétriques par rapport à Oy que la valeur absolue de x est plus grande. Pour les autres valeurs de >, la courbe possède généralement des maximums et des minimums, tels que ceux représentés dans la figure 30.

Ceci posé, imaginons une droite horizontale, d’abord très élevée

P : he

SN | / 3 F 4 À / > Re", G 0 + | A FA \ fu; ï C7 Ÿ VA us

et que nous faisons descendre. Elle coupe d'abord la courbe en deux points À et B (qui appartiennent aussi bien à la courbe asymptote, si l'ordonnée 7, de la droite est suffisante).

Dans la position 2, la droite est tangente à la courbe en C. Comme elle peut être considérée comme une sécante limite, nous dirons qu'elle coupe la courbe en quatre points : deux points simples A', B', et un point double C. :

Dans la position 3, les quatre points sont distincts.

Dans la position 4, il y a quatre points simples d’intersection et un point double. Et ainsi de suite, |

Nous arrivons ainsi à cette proposition : Le nombre des points d'intersection est toujours pair, à la condition de compter les points de tangence pour deux; comme cas particulier, le nombre des points d’intersection peut être nul (position 9 de la droite). |

Nous supposons dans ce qui précède qu'il n'existe que des points de tangence ordinaire, c'est-à-dire des points de contact simple. La proposition reste vraie, s'il existe des points de contact multiple.

La courbe 31 se rapporte au cas de 40; pour x grand, positif ou négatif, y est grand et négatif.

En A le contact est impair; cela résulte de ce que la courbe est