NET: ALGÉBRIQUES

tingeite en À à la droite 2 et se trouve de part et & autre 4 cette droite avant et après le point de contact. Comme la courbe qui est au-dessus de Ox pour + négatif et très grand, doit revenir au-dessous

SES pe 1 À. E ; A Ne IT 40 X 5 —æ 0 \/ + Æ Fig. 31.

de Ox pour x positif et très grand,

il faut qu'elle repasse sur la

droite 2 au moins une fois, et généralement 3, 5, .… fois, c'estkr d AN

ne 4 Fig. 32.

à-dire un nombre impair de fois. Le nombre total des points d'inter-

section est donc pair.

La conclusion est encore la même si le point À est de contact multiple et pair, puisque l'aspect du contact reste le même que pour la tangente; seule est modifiée l'intimité de ce contact. Nous pouvons donc énoncer la proposition générale : Si la puissance la plus élevée

est paire, le nombre des points

d’intersection par une horizontale

De COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

est pair, à la condition de compter les points de contact comme pairs quand la courbe reste du même côté de la tangente, comme impairs quand elle passe d’un côté à l’autre.

2°. — Supposons m impair. La courbe qui est au-dessus (ou audessous) de Ox pour x négatif et grand, finit par être au-dessous (ou au-dessus) de Ox pour x positif et grand. La figure 32 suppose m impair et a<0.

Sans qu'il soit nécessaire de recommencer les raisonnements, on peut conclure : Si la puissance la plus élevée est impaire, le nombre des points d’intersection par une horizontale est impair, à la condition de compter les points de contact comme pairs quand la courbe reste du même côté de la tangente, comme impairs quand elle passe d’un côté à l’autre. Il résulte immédiatement de là qu’il existe toujours au moins un point d’intersection, quelle que soit la position de l’horizontale.