Détermination des points d’intersection

Coupons la courbe y—/f{x), par une droite y—"; le problème est de déterminer les valeurs numériques des abscisses des points d'intersection.

1°. — Il s’agit d’abord de connaître approximativement leurs positions. Nous nous appuierons sur cette proposition évidente.

Dans le second membre de l'équation (1), substituons à + deux valeurs x, et x, (fig. 32 et 33).

Si les valeurs correspondantes de y sont l’une plus grande, l’autre

B ne Vif & | : | LL

Fig. 33.

plus petite que n, il existe nécessairement entre x,etx, un nombre impair de points d'intersection.

Dans le cas de la figure 32, il en existe au moins 5 d’après notre manière de compter : un en C, un autreen E; en D, il en existe au moins 3, peut-être 5, 7, ..., en tous cas un nombre impair.

Notre premier soin sera donc de rapprocher suffisamment les abs-

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bas

FONCTIONS ALGÉBRIQUES 59 cisses +, et +, pour être sûr que l'intervalle de x, à x, ne renferme qu’un point d’intersection (intersection simple ou multiple).

D, ___ INTERPOLATION PAR PARTIES PROPORTIONNELLES : EMPLOI DE LA SÉCANTE.

Pour déterminer une position approchée du point d'intersection, nous pouvons assimiler la courbe à une droite entre les abscisses æetæ,. Nous remplaçons (fig. 33) la courbe ACB par la droite AB. Nous déterminons aisément l’abscisse du point D.

En effet, soit n, la valeur de y—/f{x), pour æ—x,, #" sa valeur pour æ=—#+,; appelons +, l’abscisse inconnue du point D.

On a immédiatement dans les triangles semblables A3D et ABB :

Lo — Lo Ti — To (4) 1 — Vo M — Vo

D'où +,. Il est bon d'observer que le point D n’est pas nécessairement plus voisin du point C cherché que l’un ef l’autre points a et b.

Mais la distance DC est certainement plus petite que la plus grande des distances aC et CD.

Pour continuer les tâtonnements, on substituera dans y la valeur æ,. On recommencera l’interpolation avec x, et celle des quantités ,, æ,, qui, substituée dans y—/(x), donne un résultat de signe contraire à x,. Autrement dit, si x, donne une valeur y <1n, on prendra +, qui donne une valeur plus grande (figure 33 à gauche).