Mérnone DE NEWTON. EMPLOI DE LA TANGENTE

Supposons le point d'intersection cherché localisé entre les points a et b d’abscisses x, et æ,. Il s’agit de déterminer ÿ l’abscisse du point C.

La méthode de Newton consiste à trouver l'intersection de la droite y y—=n, avec la tangente menée à la courbe ACB en l’un ou l’autre des points A, B. La figure 34 PS montre immédiatement que la méthode est mauvaise si les points A et B ne sont pas très voisins; autrement dit, si entre ces points la courbe n’est pas approximativement remplaçable par la tangente en À ou en B.

Quoi qu'il en soit, calculons l’abscisse x, du point E.

Nous savons que l’équation de la tangente en A ($ 30) est :

Bt--- SCOR

Fig. 34.

Y ——=/ (Lo) (T — Lo);

f'(&) est la valeur de la dérivée de y —f(x) par rapport hr, quand on pose æ—4%.

Pour connaître x,, substituons à y la valeur 7. Il vient :

n— 0 —/'(@o) (rs — 20), Tdi +(n— 0) : f(&o)s (2) formule évidente sur la figure.

REMARQUE I. — Si la droite horizontale coïncide avec Oz, les formules précédentes se simplifient. Il faut poser n—0. On trouve:

Lo — Lo — M re à (1) | La Lo — No : f (@o). (2°) Remarque Il. — Comparons les formules (1) et (2). Elles sont

identiques, s’il est pratiquement permis de poser :

a No 0rf:

pape at à CA c'est-à-dire si la tangente se confond sensiblement avec la sécante.

RemakQuE III. — Tout ce que contient ce paragraphe est applicable

à la détermination des points d'intersection d’une horizontale avec une courbe quelconque : y—/{x); l'hypothèse qu'il s’agit d’un polynôme n'intervient pas.

Racines réelles des équations algébriques.