Décomposition d’un polynôme en facteurs

Soit f(x) un polynôme de degré m qui s’annule pour x—a.

Je dis qu'on a : f(æ)= (x — a)p(x),

où o(xr) est un polynôme de degré m—1.

En effet, divisons f(x) par æ—a. D'après les règles de la division algébrique, nous sommes assurés de trouver :

f(æ)=(&— 2) gx) +R,

où R est un nombre. Faisons maintenant x—a; :il vient :

Le reste R de la division par æx—a est donc ce qu’on obtient en substituant à à x dans le polynôme. Mais par hypothèse f(a) —0, puisque a est racine; donc R—0. En définitive, si a est racine, on

a identiquement : f(&)= (x — a) p(x).

CoROLLAIRE I. — Soit a, b, c, d, .. les racines réelles qu'admet le polynôme égalé à zéro. On peut le mettre sous la forme :

f(x) —(æ—a)(x —b)x—c)...y(æx).

En effet, æ—a nadmet pas b comme racine; il faut donc que o(æ) l'admette.

D'où : o(æ) = (x — b)f(x), f(æ) = (x — a) (x — b)y(x). Et ainsi de suite.

CoROLLAIRE Îl. — Le nombre des racines réelles est égal ou inférieur au degré de l'équation, car le nombre des facteurs ne peut sur-

passer le nombre m.

CoroLLaIRE III. — Rien n'empêche les racines d'être multiples. On

a alors : f(æ)=(e — a)" (e — b} (x — c} y(x).

La racine à est multiple d'ordre n, la racine b multiple d'ordre p, On doit avoir n—+p—+q<m. Pour l'étude de la courbe au voisinage de ces points on, se reportera au $ 33.

CoroOLLAIRE IV. — Supposons trouvées et mises en évidence toutes les racines réelles ; le polynôme indécomposable y(x) est de degré

pair. Car son degré est :

Or n—+p—+q est de même parité que m (K 37).