Détermination de la tangente à une courbe

1°. — Traçons une courbe (fig. 4) lieu des points également dis- tants d'un point fixe O : c'est un cercle. Soit une sécante AB. Con- A Zingente sidérons le triangle isoscèle OAB ;. Le BR . nous avons les relations : / | DAS EE / >. \ TA + | Tia ur

L'anglé 6 est donc parfaitement déterminé pour toutes les positions de B, si rapprochées qu'on les sup- :

pose de À, pourvu que B reste DE ne distinct de ke. Évidemment le tri- pl = fe diaparait, et par suile tout rai- sonnement sur l’angle 8 devient M ere quand B coïncide avec À. Déterminer la valeur limite de 5, et conséquemment la ne limite de la sécante (qui par définition deviendra tangente), cest ‘ poser que nous avons le droit de poursuivre notre raisonnement jus- Re Qu'aux valeurs évanouissantes de la distance AB; c'est extrapoler par continuité hors du champ où 8 est effectivement mesurable. Pour de obtenir un résultat, nous considérons donc la distance AB, ou, ce

comme net Sndéfniment jusqu'a s annuler. Nous ‘admettons ee.

comme exact pour a—0, ce qui est. de plus en plus Res È lorsque & diminue jusqu’au moment de s’annuler. | Quand «x s’annule, les relations (1) demeurant vraies si ee. que soit x et, PAR SUITE DE NOTRE HYPOTHÈSE, demeurant vraies pour a —=Ù, 8 Ant alors droit. D'où la donc sion : : la limite de la position de la sécante (qui devient tangente par définition) est normale au rayon.

On voit l'avantage du théorème. Supposons un cercle réellement tracé à l’aide d'un compas. Pour déterminer la tangente, nous nous garderons de mener une sécante dont les points d° inlérdachon avec

le cercle soient très

rapprochés. Nous utiliserons notre théorème ; nous cons{truirons une normale à l'extrémité du rayon, ce qui est une opération très précise. Voilà comment l'étude d’un cas idéal amène à un résultat

‘éminemment pratique.

- Raisonnant sur le cer-

cle sans épaisseur,

n'utiisant les figures

que pour concrétiser les raisonnements, nous parvenons à des résultats applicables à nos représentations grossières.