Voici un exemple plus compliqué (fig. 5 et

Soit une courbe lieu des points dont la somme des distances AF + AF° à deux points fixes F et F' (foyers) est constante «et égale à 2a :

c'est une ellipse.

Traçons la sécante AB.

Construisons les triangles isoscèles AFC, AFD. On

e trouve iisénet BC — BD:

Fig. 6.

E Cherchons vers quelle forme tend la figure quand B se rapproche de A. D’après le 1°, FG tendant vers FA, FD tendant vers F'A, les angles « et 8 tendent à devenir droits ; les droites AC et AD tendent à devenir De rs culaires respectivement sur FA et F'A (fig. 6). |

ns condition BC — BD subsiste, si petite que soit la distance AB.

Fig. 5.

AD : : elle tend done à être bissectrice de ces positions limites et par ee St te bissectrice extérieure des droites fixes FA et F'A qui leur = deviennent perpendiculaires. D'où le théorème : la {angente à une : lipse au point À bissecte l’angle des droites qui le Joignent aux foyers. Insistons sur l'hypothèse de la continuité qui est à la base de us nos raisonnements. Le résultat ne devient exact que par extraolation, juste au moment où toute conclusion directe devient impos- sible. C'est un paradoxe dont il serait vain d’atténuer l'étrangeté. a Une droite qui passe par deux points A et B confondus n'est pas “ déterminée: cest évident. Mais si la confusion s'opère après que | nous avons défini la direction suivant laquelle le point B s'approche du point A, la direction limite reste définie, à la condition qu’elle ne change pas brusquement au dernier moment, c'est-à-dire à condition qu'il y ait continuité.