SES JJ ^ H
co
resu ment
en C
p vO
cA 0
Si l'on considère le second membre de celle relalion, on voil que les lermes indépendants de h forment le polynôme proposé luim-ême, comme cela doit être, puisque, pour h z=z o, on doit retrouver F(.r).
Quant au coefficient de la première puissance de /<, c'est ce qu'on appelle le polynôme dérivé ou leidériçée du polynôme proposé. On représente la dérivée du polynôme F(j?) à l'aide de la notation F' (a?).
Le polynôme
F'(x) = m Ao^"-* -h {ni — i) A, jr'""* -h ( w — 2) Aj j:'"->-4- . . . -h A,». 1
se déduit du polynôme F{^) suivant une loi très simple : // suffit, pour l'obtenir, de multiplier chaque terme de ce polynôme par V exposant de x dans ce terme, en diminuant en même temps V exposant de x d'une unité.
Le premier terme deF'(j:)est ainsi mK^^x"^-^ et le dernier A,„,,car le dernier terme A,« de F(^) doit être regardé comme contenant x^.
En examinant les coefficients de — > r, 7 •••» on voil
facilement que chacun d'eux se déduit du précédent suis^ant
la règle quon vient d'énoncer. Il en résulte que le coefficient
de — est la dérivée de F'(j:) ou ce qu'on appelle la dérivée
seconde de F(j:). Celle seconde dérivée est représentée par
la notation F'(a^). De même, le coefficient de ^ est la
dérivée de Y^{x^ ou la dérivée seconde de F'(x) ou la dérivée
troisième de F(.r), de sorie que sa notation est f{x). On
continuera de la même manière, jusqu'aux derniers lermes
du second membre de la relation que nous étudions.
11 faut observer, à ce sujet, que, si l'on applique la règle
aux deux derniers coefficients (seuls représentés ci-dessous),
au lieu de les écrire directement d'après la formule du
binôme (255), comme nous l'avons fait, ces coefficients, qui
sont ceux de A"*""* et de A*^, prendront la forme
m {m — i)(m — 2). . .2.Ao^ -+-(/w — i)(m — 2)(/n — 3).. . i.Ai
et
au lieu des expressions indiquées
//iAo^4-Ai el Aq.
Pour appliquer partout la même notation, nous écrirons donc les deux derniers termes du développement comme il suit, en désignant par F<'"-*^(j;) et par F<"*^(a?) la (m — !)•*"• et la m»*°*« dérivée du polynôme V(x) :
(On fera de même, s'il y a lieu, pour les termes précédents.) Nous aurons finalement
F("0(jr)
L'accroissement pris par le polynôme F {x), lorsque la variable X subit elle-même V accroissement ou la variation positive ou négative h^ a ûonc pour expression
' F(xH-/0 — F(,r)z:rF(x)- -f-F"(x) —
F^ix)
325. Il est important de remarquer que, d'une manière générale, lorsqu*on prend les dérivées successives d*un poly^ nàme F(x), le degré de chaque dérivée est moindre d'une unité.
Ainsi, le polynôme proposé étant du degré m, sa dérivée première est du degré m — i, sa dérivée deuxième du degré
Db C. — Cours, III. i8
m — 2, sa dérivée troisième du degré m — 3, etc.» sa m**"* dérivée du degré m — m ou zéro.
Cette m'*'"* dérivée ne renferme donc plus Xy elle se réduit à une constante, et les dérivées suivantes sont nulles ou n'existent pas,
A chaque nouvelle dérivée, il entre un coefficient de moins, parmi les coeffîcients les plus éloignés du polynôme donné, dans l'expression de la dérivée, et la w»*"* ou dernière dérivée ne contient plus que le coefficient Aq du premier terme du polynôme supposé ordonné suivant les puissances décroissantes de la variable x.
Prenons, par exemple,
Y{x)=i2x^ — nx^-\-5x^-h 3x — i; il viendra (324)
F' (X)z=z 8^'— 2ia:'-H IOJ7-f-3, F^ {x)=z2!\X^ — ^2X 4-10,
326. Nous terminerons par une remarque qui nous sera utile plus tard.
Dans la formule (i) du n® 324, permutons x et A, ce qui ne modifiera pas l'expression du premier membre; nous aurons évidemment
Ce nouveau développement permet de calculer plus rapidement le résultat de la substitution de a? + A à la place de 3c dans le polynôme F(^).
Cherchons, par exemple, ce que devient le polynôme cidessus (325), 2J?*— 7a?'-h5a?*H- 3x — 1, lorsqu'on y remplace X par a: -4- 3.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 2^5
Il suffît, d'après la formule (3), de former les différentes dérivées de ce polynôme et d'y faire a- ~ 3. On a ainsi, d'après les résultats précédents (325),
F'(3)=i:6o, F''(3)---ioo, F'^(3)=z=io2, P''(3)^48.
On a d'ailleurs
On peut donc écrire, en renversant l'ordre des termes et en tenant compte des dénominateurs,
F (a: -^ 3) ^=11 2 jp^ -h l'j jc^ -h 5o^'-i- 6oa: -\- a6.
Cas de deux variables.
327. Nous devons d'abord donner quelques indications préliminaires.
Considérons un polynôme entier par rapport à x etày, en désignant ainsi deux variables indépendantes ou deux quantités qui vanent d'une manière arbitraire et indépendamment l'une de l'autre.
Ce polynôme entier sera alors une fonction de x et de y, et nous le représenterons par F(j?, j).
On peut, dans cette fonction, regarder/ comme constante, et prendre le polynôme dérivé ou la dérivée de la fonction par rapport à la variable x (324). On obtient alors ce qu'on appelle la dérivée partielle de la fonction par rapport à x.
De même, si l'on regarde au contraire x comme constante, et si l'on prend le polynôme dérivé ou la dérivée de la fonction par rapport à la variable j, on obtient ce qu'on appelle la dérivée partielle de la fonction par rapport à y.
On représente ces deux dérivées partielles, qui sont des
dérivées premières ou des dérivées du premier ordre, par les
notations
FU^',7) et ry{x,r)
ou, plus simplement, par les notations
F', et F;..
L'accent indique l'ordre de la dérivée partielle et, l 'indice, la variable indépendante par rapport à laquelle on a pris cette dérivée partielle.
On peut former également les dérivées partielles des premières dérivées partielles obtenues, qui sont elles-mêmes, en général, des fonctions de x et de y. On trouve ainsi des dérivées partielles qui sont des dérivées secondes ou des dérivées partielles du second ordre de F(^, j).
Comme les deux dérivées successives peuvent être prises, soit deux fois par rapport à ^, soit une fois par rapport à x el une lois par rapport à 7, soit deux fois par rapport à y, on a,
[^, de cette manière, trois dérivées partielles du second ordre
r représentées par les notations
Px^i-^yf), K,y{^r,y), ¥]t(x,}),
ou par les notations
> On voit que Tordre de dérivation correspond à l'accen-
tuation de la lettre F et que Tindice de cette lettre indique les variables par rapport auxquelles les dérivées partielles
; successives ont été prises. L/indice a;* ou Tindice r* remplace
simplement, par convention, Tindice a:,x' ou l'indice j, r.
Si Ton forme encore les dérivées partielles des dérivées partielles du second ordre, on trouve des dérivées partielles du troisième ordre de ¥{x,y). Les trois dérivées partielles successives pouvant être prises, soit trois fois par rapport à x, soit deux fois par rapport à a? et une fois par rapport à y, soil une fois par rapport à j? et deux fois par rapport à j, soit trois fois par rapport à r, elles seront représentées par les notations
F;.(^,7), ¥'%^y.(jr,y), F.;,^.(j:, v), F;,(x, >),
ou par les notations
Fut -pm »•«•» ■•"»
On continuera de la même manière.
328. Lorsqu'il s'agit d'une fonction entière, le degré des dérivées partielles des différents ordres va toujours en diminuant d'une unité (325). On arrive donc nécessairement à des constantes pour les dérivées partielles d'un certain ordre, et toutes les dérivées partielles suivantes sont nulles.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 2'J'J
Soit, par exemple, la fonction entière du troisième degré
^"(*'"> y) = Ao»r' -H A, .r' V h- A,.rv* -+- A, x'
-f-Bo^--hB,xK-hB,r'-f-Co.r H-Ci> -^ ï^u-
On en déduit successivement (32V, 327)
F^=:3\oX*-h 2Ai.rv -+- A,/'4- aBo^r -h Bj r-h Co, F^— A,j:^-H- aAs-iV-h SAjj'-h BjJ: -h^BjV -h C,,
F'it zzr 6 \o.r -f- 2A1 v4- 2Bc,
F4.,j.:=: 2A,JF -f- 2Aj V 4- B,, F^i ::=:: 2AjJ? -h6Aj K H- 2B,;
Fr»=^6Ao, Fa«.j=2Ai, FÏ,j.iz=:2Ai. FJ'.^^ôA,.
Toutes les dérivées partielles du troisième ordre étant des constantes, les dérivées partielles d'ordre supérieur sont toutes nulles.
On peut remarquer que Ton a
11 en résulte que, pour le cas considéré, si les indices de F sont composés des mêmes lettres affectées dés mêmes exposants et que Ton prenne ces lettres dans un ordre quelconque, les dérivées partielles correspondantes demeurent identiques, c'est-à-dire que l'ordre suivant lequel on forme les dérivées partielles successives est indifférent. Nous reviendrons plus lard sur ce point important {voir Livre V).
329. Reprenons maintenant le polynôme entier quelconque ^{^9 y) fit donnons respectivement aux deux variables a: et y (327) les accroissements h et k. Il s'agit de trouver le développement de F{x H- /«, 7 -h k), pour en déduire ensuite l'accroissement correspondant
F(a:4-^,r-hX:)-F(^,7)
subi par le polynôme.
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
G ce
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CO
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