X :=: 7- OU ). z:. M

Le théorème relatif aux puissances (345) est donc complètement généralisé) et la puissance d'une quantité variable a toujours pour limite la même puissance de la limite de cette quantité, que V exposant de cette puissance soit entier ou fractionnairCy positif ou négatif , pourvu qu'il reste fini.

Principe fondamental.

3W. Tous les théorèmes démontrés ci-dessus ne sont que des cas particuliers du principe fondamental qui constitue, en réalité, la méthode des limites et que nous avons déjà indiqué {Géom., 217).

Nous rappelons ici en quoi il consiste.

Quand on veut trouver une relation entre des grandeurs qui ne se prêtent pas immédiatement aux comparaisons nécessaires, on peut essayer de les remplacer par des grandeurs variables plus simples, dont elles soient les limites. Si Ton y parvient, le problème est résolu. C'est ce que nous avons fait constamment en Géométrie, pour la mesure des lignes et des surfaces courbes et pour celle des volumes terminés par des surfaces courbes.

Considérons, pour préciser, une équation quelconque entre des grandeurs variables a?, /, ^, . . . , qui tendent vers leurs limites a, 6, c, . . . . Cette équation sera de la forme

et nous admettons que les fonctions F et (p demeurent continues (Alg, élém., 310), au moins lorsque les variables ^, y, «, . . . sont voisines de leurs limites respectives a, b, Cj .... Les différences de x,y,z, , , ,, h leurs limites, pourront alors

Qe C. — Court, ni. 19

•liJO ALGEBRE SUPÉRIEUUE.

èlre assez petites pour que les fonctions F(a:, v, 5, ...) et (p(j7, y, Zy . . .) diiïèrent elles-mêmes aussi peu qu'on voudra de F(a, b, c, ...) et de 9(0, 6, c, ...)i qui représenteront, par conséquent, les limites des deux membres de l'équation (i). Comme les limites de deux quantités égales sont égales (33^), on aura finalement

(2) F(a, by c, . . .) =r ^(ûr, b, c, . . .).

Ainsi, lorsqu'on veut obtenir une relation entre des quantités considérées comme limites de quantités variables d'une espèce plus simple, on cherche d'abord une relation entre ces quantités variables; puis, on n'a plus qu'à y substituer aux quantités variables leurs limites, pour avoir la relation qui lie ces dernières.

En d'autres termes, lorsque des grandeurs variables tendent vers leurs limites, toute /onction de ces variables tend^ en général, vers la même fonction de ces limites.

Cette proposition fondamentale résume la méthode des limites, et Ton voit qu'elle renferme tous les théorèmes précédents, qu'on aurait pu énoncer immédiatement comme il suit, en vertu de ce principe :

Lorsque des quantités variables tendent vers leurs limites, leur somme a pour limite la somme de ces limites, leur produit a pour limite le produit de ces limites, etc.

Théorème relatif anx moyennes.

3W. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant un théorème sur les moyennes, qui se rattache utilement aux applications de la méthode des limites.

On appelle, comme on sait, moyenne de plusieurs quantités données, une quantité formée à l'aide de ces quantités et comprise entre la plus petite et la plus grande {Arithm., 198).

Soient a, a', a", ... des quantités de même signe, et b, b\ b\ . . . des quantités de signes quelconques, en nombre égal aux précédentes.

Désignons par y et par d le plus grand et le plus petit des

rapports -, -r» — >

ALGEBRE

Les différences

'une part, et

d'autre part, seront toutes de même signe {Alg, élém., 2l5t).

En multipliant les termes des deux suites respectivement

par a, a', a\ . . ., on aura encore des termes de môme signe,

savoir

ay — by a'y — b'y d'y — b'^ ...,

Faisons maintenant la somme des termes de chacune des nouvelles suites obtenues et divisons chaque résultat par a-\-a'-\- a^-h On aura, pour quotients,

b^b'-hb^-h,.. , b-\-b'-hb'-h.., .

y Ql ^

et ces quotients seront encore de même signe. Il en résulte que la quantité

est une moyenne entre les rapports -^ — j — > • • •> comme si

Ci Cv Cl

les quantités b, b', b\ ... étaient toutes de même signe {Alg, élém., 66); ce qu'on peut indiquer en écrivant

( i) -, s — moy. -,-;,--,..

Si toutes les quantités a, a', a" en nombre n, deviennent égales à l'unité, on retrouve, en particulier, pour des quantités de signes quelconques, l'expression de la moyenne arithmétique {Arithm,, 198)

(2) — '^SL-i !:-•-: =moy.(6, 6', b\.,,).

Enfm, si Ton remplace, dans la relation (i), b, b', b", . . ., respectivement par les produits ab, a' b', a'^b", . . ., ce qui est

mj'i

permis, puisque b, t'y b% ... sont des quanlilés quelconques de signes quelconques, il vient, en chassant le dénominateur,

(3) ab-ha'b'-ï- a'Z>''-+-...=(a -+- a'-h a'-h...) moy. {b, b\ b", ...).

La somme des produits ab^ a' b' , a" b", • . . est donc égale à la somme des facteurs de même signe a, a' , a" , . . . , multipliée par une moyenne entre les facteurs de signes quelconques by b' b'^