CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES SÉRIES

DôflnitioiM.

350. Une série est une suite indéfinie ou illimitée de termes ou de quantités, qui se déduisent les uns des autres suivant une loi déterminée, quelle qu'elle soit.

Il en résulte qu'il suffit, pour former un terme de la série, (le connaître son rang.

L'expression qui fait connaître un terme en fonction du rang qu'il occupe constitue le terme général de la série.

351. Nous représenterons, en général, une série par la somme des termes

Uq-\- Ui-\- u^-\- e/,4-. . .

Le rang du terme est alors en avance d'une unité sur son indice, le n'^""" terme étant w«-i.

Nous désignerons par S^ la somme des n premiers termes de la série, et nous poserons

Cela posé, nous aurons trois cas, c'est-à-dire trois espèces fie séries à distinguer.

352. i« Si la somme S» des n premiers termes de la série tend vers une limite fixe et déterminée S, à mesure que n croît indéfiniment, la série est une série convergente.

La limite S est souvent appelée la somme même de la série. La différence S — S;^ est le reste de la série, qu'on exprime par R„,

29 { ALGEBRE SUPÉHIEURE.

3« Si la somme S« des n premiers termes de la série peul croître, en valeur absolue, au delà de toute limite, lorsque n croît indéfiniment, la série est une série divergente.

3» Si la somme S„ des n premiers termes de la série, sans croître indéfiniment, ne présente aucune limite fixe, mais passe d'une valeur finie à une autre valeur finie, sans s'arrêter à aucune, lorsque n croît indéfiniment, la série est une série indéterminée,

353. Par exemple, toute progression par quotient, décroissante et illimitée, est une série convergente {Alg, élém.y 342).

Toute progression par quotient, croissante et illimitée, est

une série divergente {Alg, élém., 345).

La série

-f-i — 14-1 — 14- I — I-f-l — IH-...,

dans laquelle la somme des n premiers termes passe constamment de 1, lorsque n est impair, à o, lorsque n est pair, est une série indéterminée.

Emploi des séries.

354. On emploie les séries, en général, pour remplacer certaines fonctions compliquées, dont elles doivent faire connaître les valeurs avec une approximation d'autant plus grande que l'on considère un plus grand nombre de termes dans ces séries.

On arrive ainsi à calculer plus simplement et plus rapidement les valeurs numériques des fonctions, ou à étudier plus facilement leurs propriétés. Mais, pour que cette simplification soit permise, il faut que la série substituée ait réellement pour limite la fonction proposée, c'est-à-dire il faut que cette série soit convergente.

L'ensemble des termes qu'on néglige après les n premiers termes de la série, ou le reste de la série, représente l'erreur commise ou l'approximation obtenue.

On voit par là que les séries divergentes et les séries indéterminées ne peuvent être, en général, d'aucun usage.

355. Lorsqu'une série est convergente, peu importe le nombre de termes qu'il faut y conserver lorsqu'il s'agit d'une

ALGÈBRE SlJPÉIllEURF.. 'ÀiJ,}

démonstration indépendante de toute considération numérique. Au contraire, si l'on a en vue d'obtenir des valeurs numériques, suffisamment approchées, de la fonction, il est nécessaire, pour que les calculs ne deviennent pas impraticables, qu'on n'ait pas à conserver dans la série un nombre de termes trop considérable. C'est ce qu'on exprime en disant que la série doit être alors rapidement convergente,

356. Les premières séries qu'on ait rencontrées sont celles qu'on a obtenues en appliquant la règle de la division à la

fonction -, — et celle de l'extraction de la racine carrée à

a H- oa:

l'expression s/a -h bx. Elles se sont donc présentées naturellement comme ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable œ.

Divisons, par exemple, i par i — œ. Nous avons trouvé précédemment (i i)

I jt"

nrl 4- ^ -h ^'^ -h J?' -h . . . -r J7"~* -f-

Si l'on a a?<i, la quantité ^'* peut devenir aussi petite qu'on voudra, pour n assez grand {Alg. élém,, 336), et la

fonction peut être remplacée par la série convergente

{Alg. élém,, 3i2)

I -i- 37 ~f- a?* -f- a-' -f- . . . -h J?""* -i- . . . , dont la limite est précisément la fonction

Si l'on a, au contraire, ^ > i, la quantité x'*^ peut devenir aussi grande qu'on voudra, pour n assez grand {Alg. élçm., 336). La série

est alors divergente {Alg. élém., 34-5), et elle ne peut pas remplacer la fonction —

ALGEBRE SUPERIEURE.

Exemples de séries coiiTergeiites,