L'identilé suivante
OÙ Uq, i/i, 1/], iii, ..., Un-if ^^nf ••• sont des nombres assujettis seulement à la condition que Un devienne inllniinent petit (336) pour n infiniment grand (337), renferme un très grand nombre de séries dont la somme est connue, c'està-dire de séries convergentes,
La somme de la série est le premier membre de l'identité; ses termes sont les différences indiquées dans le second membre. Cette série est convergente, car la somïne des n premiers termes se réduit à Uq— ii„, c'est-à-dire, à la limite à Uq, puisque, pour n assez grand, u„ est un infiniment petit.
358. Nous allons faire quelques applications de l'identité (i).
i"* Soient
f/Q = I , w, = jCy ;/, = .r*, Uz = .t^, . . . ,
et
L'identité (0 devient
ou, en divisant les doux membres par i — .r,
comme au n" 336.
2" Soient
Ài o
L'identité (i) devient
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'ig'J
c'esl-à-Klire
3» Soient
Wo__i, "1-5»
Hz ->
•ZN - - 1
L'identité (i) nous donne
c'est-à-dire
et, par suite,
4' Soient, enfin,
«0 = arc tang - > //i — arc lang j ? i/j = arc tang
W3 - arc tang tt? » • • • » ''«-i = arc tang -y »
La condition imposée (357) est toujours remplie; car, pour n infiniment grand,
Un = arc tang 7
est infiniment petit (Trigon,, 22).
L'identité (1) devient
c / c c \ arc lang - = 1 arc lang arc tang j j
-^ (arc tang y — arc tang — - — r )
-h ( arc tang 7- — arc tang -7 ) -f- . . .
-f- arc tang -7 — arc tang r -h
et, en remarquant que l'on a, d'une manière générale ( Trigon. VyS ),
arc tang -
ig -y — arc tang r
= arc tang
a -^ {u — I ) /; a -h nh
[a -{il — \)b\[a -~ nlj\ hc
— arc tang p , , r , ^ . ,
^{a -{n ~'\)h]\^a - nb^ i- c*
on peut l'écrire
c bc arc tang - = arc tane -, - — ;
bc
arc tang
(« ~ ^) (a -r- 2^) -T- r* bc
-^ arc tang . . . « • • •
br ■':- arc tang
[(t -\- {H — i)b^[a - nb] - r*
On peut maintenant faire dans cette formule les hypothèses qu'on voudra sur les quantités a, bj c.
Prenons, par exemple, « — i, b =i, r = i, et nous trouverons {Trigon., 22)
