TT . I I . I
arc tang -—
arc tang i — ^ .— arc tang - - arc tang - -r- arc tang 4^7
H- arc tang — ... - arc tang —
359. On peut ramener, dans certains cas, la série proposée à la forme affectée par Tidenlilé (i) (357), et la sommer alors immédiatement.
Soit la série
algèbhk supérieure. q()9
On a évidemment, quel que soit .r,
(,/'-t- AjiJ. -i~ 'i)
En ajoutant tontes ces identités membre à membre, on trouve évidom ment
360. On peut aussi, dans certains cas, obtenir la somme d'une série en la décomposant, par le partage approprié de cliacun de ses termes, en séries plus simples ayant des sommes connues.
Posons
S = I -H 2^-r- 3.r2-h 4a.-3--. . . i- /ix" -*-}-(// -t- i)j:"M ...,
.r étant un nombre positif ou négatif, plus petit que i en valeur absolue. On peut mettre la relation précédente sous la forme
• «v — •" jXf ~ î"" 14 ' I " • ■ • ! ■* ~ t •^ ~ \ • • •
U première ligne de la valeur do S représente (336); la deuxième
ligne, en mettant x en facteur commun, représente ; la troisième
ligne, en mettant x* en facteur commun, représente ;> etc.; la
(n 4- 1)^'"»* ligne, en mettant a" en facteur commun, représente
3oo
On a donc finalement (356)
I — JC I — X 1 — JC I — X
361. Ces exemples sufOsent pour montrer qu*il existe un nombre, pour ainsi dire indéfini, de développements que Ton peut effectuer ou de séries convergentes que l'on peut sommer par des procédés simples.
On en trouvera de très intéressants dans le beau Traité de Calcul dijférentiel et de Calcul intégral de M. J. Bertrand.
Premier caractère incomplet de coiiTergence. — Exemple de série divergente : série harmonique.
362. I. Pour qu'une série soit convergente, il faut que, à partir d'un certain rang n, la valeur de ses termes tende vers zéro autant qu'on veuty à mesure que n augmente.
Considérons, en effet, la série supposée convergente
S = Wo -*- "l -+- "l + "s + • . • "♦- «/l-l -+-««+ «/l-Hl
Si n est suffisamment grand, nous pourrons, par définition (352), poser à la fois
S = limS.
et
S-limS
Il en résultera (3il)
limSrt-K,— .limS;j=: lim(Srt Hi — S^) — o ou
limw;j=:o.
Pour qu'une série soit convergente, il est donc nécessaire que ses termes aient pour limite zéro, puisqu'il en est ainsi pour toute série supposée convergente; mais cette condition nécessaire n'est pas suffisante, comme nous allons l'établir pour une série remarquable, dite^eWe harmonique, et comme on peut l'établir pour un grand nombre d'autres séries.
