II. Considérons la série
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3o 1
dont les termes ont évidemment zéro pour limite : nous allons prouver que cette série est divergente.
Laissons de côté les deux premiers termes in — et groupons les autres termes en en prenant deux d'abord, puis quatre, puis huit, puis seize, etc., indéfmiment, en doublant toujours le nombre des termes lorsqu'on passe d'un groupe au suivant. En remarquant que le dernier terme de chaque groupe est le plus faible, nous aurons alors les inégalités
lO
la
(re = à)
On voit que, k étant le rang du groupe qui commence par la fraction > on a /> = a* et que le groupe comprend
2* termes.
Il résulte des inégalités précédentes que, si Ton met à part les deux premiers termes de la série, on peut la décomposer
en groupes successifs, tous supérieurs à -• Comme la série se
poursuit d'ailleurs indéfmiment, on obtient autant de groupes que l'on veut, de sorte que la somme des termes de la série croît indéHnimenl à mesure qu'on en prend davantage et que la série est, par conséquent, divergente (352).
36i. La série qu'on vient de considérer s'appelle la série harmonique. Il n'est pas inutile d'indiquer d'où lui vient ce nom.
Nous avons rappelé (Gédm., 137) que trois quantités a, b, c, rangées
par ordre de grandeur, forment une proportion harmonique lorsqu'elles
satisfont à la relation
Le second nombre b est la moyenne harmonique entre les deux nombres
extrêmes a et c.
Ainsi, les trois nombres 1 5, 12, 10, forment une proportion harmonique,
puisqu'on a
Or, si Ton se reporte aux notions d'Acoustique données en Physique, on trouve que les nombres r5, 12 et 10 sont précisément proportionnels aux longueurs des cordes sonores qui, sous la même tension, rendent les notes ut, mi, xol de l'accord parfait, ce qui justifie l'expression de proportion harmonique.
Cela posé, il est facile de voir que, lorsque trois quantités forment imc proportion harmonique^ leurs inverses sont en progression par différence et réciproquement.
De
on déduit, en effet,
ac — bc — ab — ac ;
et, en divisant par abc les deux membres de cette égalité, on a
Les quantités -y j-> - sont donc bien en progression par différence {Jlg, eïém,, 322).
Réciproquement, si les quantités -1 j, - sont en progression par différence, leurs inverses a, by c constituent une proportion harmonique; car, de
'diatem
en
a h ab
b-c bc
ou
D'une manière générale, cfe.r quantités a, b^c^d^e^f, . . ., en nonére quelconque et rangées par ordre de grandeur, forment wie progression harmonique quand trois termes consécutifs forment utie proportion harmonique, I^s inverses de ces quantités forment alors, d'après ce qu'on vient de démontrer, une progression par différence.
Réciproquement, les inverses des termes d'une progression par diffe'^ rence forment une progression harmonique.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 3u3
Or la plus simple des progressions par différeDce étant
= 1 .2.3.4.5. ../!.(«-+- i).{/i -H 2). . . ., la plus simple des progressions harmoniques est la série 1 I I i II I
IH I-tt-Ht-»- 7-+-. ..h 1 \ H . . .
d'où son nom de série harmonique.
Caractère général de conyergence.
365. III. Pour qu'une série soit convergente, il faut et il suffit que, pour n assez grand, la somme des p termes qui suivent les n premiers soit inférieure ^ en valeur absolue, à une quantité donnée aussi petite qu'on voudra et ait pour limite zéro quand n croit indéfiniment, lors même que p serait infiniment grand.
Nous remarquerons d'abord que cet énoncé exige que, à partir d'un certain rang, les termes de la série tendent vers zéro (362). Cela posé, soit la série supposée convergente
S =: Wo -^ "1 -^ "j -^ "» -*~ • • •
-f- M«i 4- M^ -H W„-n -h ... -h Un+p-i -h Un-^p ~^ ^n-^p-hl -H»...
Pour n assez grand, on peut poser à la fois^ par défînition
limSrt— S et limS;,^p=S;
on en déduit (3^1), S;, étant la somme des termes de la série jusqu'à «/„! et S„+p la somme des termes de la série jusqu'à
limSrt+p— iimS;,= lim(S„H-p — S„)=o,
c'est-à-dire
(i) lim(w„-f- W;,^,-i-w„Hj-f-...-i-M„H-p-,)— o.
La condition énoncée est donc nécessaire, puisqu'elle est remplie par toute série supposée convergente.
Elle est suffisante; car, toutes les fois qu'elle est remplie, la série considérée est convergente.
3o4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
En effet, si, Tégalilé (i) étant satisfaite, la série proposée n'était pas convergente, elle serait nécessairement divergente ou indéterminée (352). Nous allons montrer que Tune ou Taulre de ces hypothèses est inadmissible.
Supposons que la série soit divergente : la somme de ses termes doit alors croître indéfiniment à mesure qu'on en prend davantage. Or, S;, est une quantité finie et la somme des p termes qui suivent les n premiers diminue et tend vers zéro, quel que soit />, à mesure que n augmente. La somme totale des termes ne peut donc pas croître indéfiniment et la série ne saurait être divergente.
Supposons que la série soit indéterminée. La somme de ses termes doit alors passer successivement et indéfiniment, à partir d'un certain rang, d'une valeur finie A à une autre valeur finie B, différente de la première. Or, quelque grand que soit/?, on peut toujours faire en sorte que S^ corresponde à A et %n-^p à B. Dans ce cas, la somme des p termes qui suivent les n premiers se trouverait égale à la différence finie B — A et n'aurait pas pour limite zéro, ce qui est contraire à l'égalité (i). La série proposée n'est donc pas indéterminée.
Puisque cette série ne peut être ni divergente, ni indéterminée, elle est convergente.
366. La proposition suivante est une conséquence immédiate du théorème général qu'on vient d'établir :
IV. Une série étant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, si on les multiplie, à partir cTun certain rang, par des nombres quelconques, positifs ou négatifs, mais finis, on forme une nouvelle série convergente.
Soit la série convergente
