I -+- «rt-i -+- "« -^ W«+i -h ... -h «rt+p-t

la condition (365)

lim ( Un -h W„+i -H WrtH-, -h ... -h M„H^p-.i)= o

sera alors remplie.

Multiplions respectivement les termes de la série (i), à partir de u^y par les nombres quelconques A, B, C, . . . , L, . . .»

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3o5

finis en valeur absolue. Nous obtiendrons une seconde série

dont il faut prouver la convergence.

Or on a, d'après le théorème relatif aux moyennes (3W),

A U„ -h B M„+, -h C Un^^ -+- . . . -h LUa^p^i

= («« -H "/»+i -t- «n+i -H . ..4-w„+p-i)moy. (A, B, C, ..., L).

Par hypothèse, le premier facteur du second membre de cette égalité tend vers zéro, quel que soit p, pour n assez grand, et le second facteur a nécessairement une valeur finie. Ce second membre a donc pour limite zéro (340). Il en est, par suite, de môme du premier membre; ce qui démontre (365) la convergence de la série (2).

367. Comme les nombres A, B, C, . . ., L, . . . peuvent être tous des fractions proprement dites, ou bien se réduire tous à Tunité en valeur absolue, on peut, d'après la proposition précédente (366), énoncer encore les théorèmes suivants :

V. Une série étant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement^ toute série qui, à partir d'un certain rang, a des termes moindres en valeur absolue, est aussi convergente.

VI. Une série devenant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, elle l'est encore lorsque, à partir d'un certain rang, on rend à ses différents termes les signes positifs ou négatifs quHls ont réellement,

II est clair que, lorsqu'une série devient divergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, on ne peut plus rien affirmer sur sa véritable nature.

368. Il est souvent difficile de reconnaître que la somme d'un nombre quelconque de termes de la série considérée, supposée convergente, tombe, à partir d'un certain rang, audessous de toute quantité donnée.

Il faut alors, pour se rendre compte de la nature de la série, recourir à des théorèmes spéciaux, plus aisés à appliquer que le théorème général (365).

Ds c. — Cours, ni. 30

Nous allons indiquer, parmi ces théorèmes^ les plus simples et les plus usuels, en étudiant d'abord les séries dont les termes ont tous le même signe. On peut alors, évidemment, les regarder comme tous positifs, quitte à donner ensuite le signe moins à la somme de la série supposée convergente, si tous ses termes sont en réalité négatifs.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 807