SÉRIES DONT LES TERMES SONT TOUS POSITIFS. RÈGLES DE CONVERGENCE

Indications préliminaires.

369. Lorsque les termes d'une série sont tous positifs^ la somme de ces termes croit sans cesse à mesure qu'on en prend davantage. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une pareille série soit convergente est donc que la somme de ses termes, quelque loin qu'on la prolonge y ne puisse pas croître au delà de toute limite.

En effet, si les résultats croissants obtenus en prenant un nombre de termes de plus en plus grand ne peuvent pas dépasser toute limite, ils approchent nécessairement autant qu'on veut du plus petit nombre qu'ils ne peuvent pas surpasser, de sorte que la série a une limite déterminée.

Il suffit donc, pour prouver la convergence d'une série à termes positifs, de reconnaître que la somme de ses termes ne croît pas indéfiniment.

Une série à termes tous positifs ne peut pas être indéterminée (352) : elle ne peut être que convergente ou divergente.

370. Il est évident que, si la série donnée a ses termes, à partir d'un certain rang, constamment plus petits que les termes correspondants d'une autre série convergente à termes positifs, elle est elle-même convergente (369).

Si elle a, au contraire, à partir d'un certain rang, ses termes constamment plus grands que les termes correspondants d'une autre série divergente à termes positifs, elle est divergente (369).

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Nous disons : à partir d'un certain rang; car, si Ton donne à n une valeur flnie, la convergence ou la divergence se manifeste seulement dans les termes qui suivent S„ et qui constituent R„ (351, 362).

La comparaison s'établit, en général, pour les séries convergentes, avec une progression par quotient décroissante ei illimitée convenablement choisie et, pour les séries divergentes, avec une progression par quotient croissante et illimitée ou avec la série harmonique (363, 364).

Théorèmes I, II, III, lY.

371. I. Siy à partir d'un certain rang, le rapport d*un terme au précédent est constamment moindre qu'un nombre fixe k plus petit que i, la série est convergente.

Soit la série

Wq-H «1-H ''îH- WsH-- . .-r W;,, H- «rt-f- «rt+i4-

Admettons que, à partir du (n-hi)*^"** rang, on puisse poser

On en déduit

Wii-hi<^W/.+i et, a fortiori, W/i4.3< A^i/,14.1 et, a fortiori,

Il en résulte que, à partir du (/i-f-i)**™« rang, les termes de la série sont inférieurs aux termes successifs de la progression par quotient décroissante et illimitée

Un-h kUn-h k^U„-+- ^'W/»-+-

La série proposée est donc convergente (370)..

Ce théorème est important, en ce qu'il fournit immédiatement une limite supérieure de Terreur commise quand on s'arrête dans la série à un certain terme.

En efîel, si Ton s'arrête inclusivement au terme W;,, ou si Ton conserve dans la série les n premiers termes, le reste

ALGEBRE SUPÉRIEDRE. 30(;

R„= S — S„ (332) est moindre que la limite de la somme des termes de la progression par quotient décroissante et illimilée

Un-h kUn-h A*W;,-h k^U„-^. . ,,

c'est-à-dire que (Alg. élém.y 3V2)

Telle est donc la limite supérieure de l'erreur commise en ne conservant dans la série que les n premiers termes : elle est égale au premier terme négligé divisé par l'excès de l'unité sur le nombre \\\e k.

372. II. Inversement, si, à partir d'un certain rang, le rapport d'un terme au précédent est constamment supérieur à un nombre fixe k plus grand que i, la série est divergente.

Admettons que, à partir du (/i 4- i)»*o>«» rang, on puisse poser ff±tl>;t, ^^^'>A-, ^^^>^, On en déduit évidemment

11 en résulte que, à partir du (ai 4- 1)'*»»» rang, les termes de la série sont supérieurs aux termes successifs de la progression par quotient croissante et illimitée

Ua-^ kUn-^ k^Un-^ k^U^-h

La série proposée est donc divergente (370).