III. Lorsque, dans une série, le rapport ""^' tend

vers une limite déterminée /, à mesure qu'on fait croître n indéfiniment, la série est convergente ou divergente, suivant que cette limite l est plus petite ou plus grande que i.

£n effet, dans le premier cas, on peut choisir entre / et i un

nombre fixe A:, alors <i, au-dessous duquel le rapport

tombera nécessairement en tendant vers sa limite / : la série est donc convergente (371).

3io

ALGEBRE SUPERIEURE.

Dans le second cas, on peut choisit* enire i et / un nombre

fixe A:, alors >i, au-dessus duquel le rapport — ^^ tombera

nécessairement en tendant vers sa limite / : la série est donc divergente (372).

374.. La limite l peut être égale à V unité. Il y a alors deux cas à distinguer :

1° Le rapport

peut s'approcher de sa limite /=i, en

lui restant toujours supérieur. Les termes de la série vont alors constamment en croissant, à partir d'un certain rang, et la série est nécessairement divergente (352, 362).

2» Le rapport

peut s'approcher de sa limite / = ï, en

lui restant toujours inférieur. On est alors dans le doute; car les termes de la série vont constamment en diminuant à partir d'un certain rang, mais leur somme va constamment en augmentant, et l'on ne sait pas d'avance si cet accroissement se produit sans limite.

Nous énoncerons donc ce quatrième théorème :