IV. Si, à partir tVun certain rang et n croissant indé
Jîniment, le rapport -- — tend vers une limite égale à r unité.
la série est divergente lorsque ce rapport finit par rester constamment supérieur à sa limite; il y a doute, c'est-à-dire que la série peut être convergente ou divergente, lorsque ce rapport finit par rester constamment inférieur à sa limite.
Les Ihéorèmes I, II, III, IV constituent, dans leur ensemble, l'une des propositions les plus utiles et les plus fréquemment employées pour l'étude des séries.
cas ou la série est ordonnée suivant les puissances
d'une variable.
376. La série considérée peut se trouver ordonnée suivant les puissances entières et croissantes d'une variable x, La proposition précédente est encore applicable. Seulement, la variable x entre alors nécessairement dans l'expression du rapport dont on a à chercher la limite; et, par suite, la con-
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 3ll
vergence ou la divergence de la série dépend, en général^ des valeurs spéciales attribuées à cette variable. Soit, par exemple, la série
Aq-I- AjO?-!- A,ir'4- Aj^'-h. . .
On a, dans ce cas,
/= lim ^^^ = lim ^-^^ = lim ^ ^,
c'est-à-dire, en désignant par X la limite du rapport -r-^ quand n croît indéfiniment,
La série sera donc convergente pour ^j? < i, ou tant qu'ion aura .r < r-j elle sera divergente pour Xj7> i, ou tant qu'on
aura ^ > ^- (373).
La série restera ainsi convergente pour toutes les valeurs de X comprises entre 4- =- et — y; car une série, qui est convergente lorsque tous les termes sont positifs, Test encore lorsqu'on en prend un certain nombre négativement (367).
Il pourra y avoir doute, si Ton aXj7=ioua?=::dzr-- Néanmoins, si, à partir d'un certain rang, -r— ^ reste toujours supérieur à X, — ^^ restera en même temps supérieur à X;r = i, et
la série sera divergente pour x=-\- ^ (375).
La remarque que nous venons de faire, relativement aux séries ordonnées, subsiste aussi pour les théorèmes analogues aux précédents, que nous avons encore à démontrer.
Applications des tbéorèmes I, II, III, lY.
377. Nous nous proposons de vérifier, à l'aide de ces théorèmes, la convergence ou la divergence de quelques
3l2 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
séries. Nous les rapporterons toujours à la série type Wo -*- «I -H "2 -t- "s -H • • • -+- "i»-i -H «„ -H «rt+i -f-
1° SoU la série
a -f- a«*-i- 3«*-i- 4«*-+-. . .H- ««"-4- (/2 -h i)rt'»-*-ï-}-. . .,
où a est un nombre positif quelconque.
Elle est évidemment divergente pour « = i ou pour a > i (362), cl il ne peut y avoir de difficulté que pour r/ < i.
On a ici (373, 375)
, ,. i/rt-f-i ,. (/z -h *)«'*■♦■' ,. /I -H 2 ,. n
l = lim = hm -, ^ — -■ = hm — — a = Iim n.
Un (/ï -hOa"-^» /i -h 1 I
Pour n =00, il vient / = <i.
Pour rt < I, la série est donc convergente.
La règle que nous appliquons indique aussi qu'elle est divergente pour û» > I et pour «' = i, comme nous venons de le dire. Dans cette dernière hypothèse, il ne peut y avoir doute, parce que la
fraction étant toujours plus grande que i, le rapport -^^^ reste
n -hi constamment supérieur à sa limite i .
2* Soit la série
Ua
