On a ici
Un-hi (/îH-2)(/H-3) /Î-+-Ï
dont la limite, pour /z = 00, est i.
Comme
n -hi
reste constamment inférieur à 1, il y a doute (375).
Mais, en se servant du procédé général indiqué au n"" 359, on peut poser
n{n-{-i) n n et, par suite, la série donnée deviendra
Elle a donc une somme égale à i et elle est convergente, comme nous l'avons déjà trouvé (358, 2*).
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3l3
3° Soit la série remarqu4ible
i^ 21* 31* 41* nV- (/*-+- 1)1*
sur laquelle nous reviendrons plus loin, et où [a représente un nombre positif quelconque.
Si Ton suppose {i = i, on retrouve la série harmonique (363, 364) qui est divergente.
Si Ton suppose fx < i , les dénominateurs des termes de la série devenant moindres que ceux des termes correspondants de la série harmonique, tandis que les numérateurs ne changent pas, les termes de la série surpassent ceux de la série harmonique et, par suite, pour {x< i, on a encore une série divergente (370).
Notre recherche est ainsi bornée au cas de fx > i.
On a alors
Ui
Pour 71 = 00, ce rapport a évidemment i pour limite; mais, comme il
demeure constamment inférieur à l'unité avant d'atteindre sa limite,
nous restons dans le doute (375).
I Nous allons opérer comme il suit, pour établir la convergence de la
série. I En laissant de côté son premier terme i, nous allons grouper ses
I termes en en prenant deux, puis quatre, puis huit, puis seize, . . . , en
doublant toujours indéfiniment.
En remarquant que le premier terme de chaque groupe est le plus
grand, on pourra écrire les inégalités suivantes :
âf "^3fi^ [^^""îFïJ'
^]^ (2P-+-i)ï* (a/'-f-a)!* (2/'+i— i)l* ^ L (2/»)!* (2/')l*-i 2/^tl*-»'J
Nous supposons que la dernière inégalité posée correspond au P"^ groupe, de sorte que le dénominateur de la première fraction du
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
premier membre y est bien {2.p)[*- et, le dénominateur de la dernière, (2/H-1— i){i.. De plus, le nombre des termes du premier membre esl égal à (2^+1— I — 2^) -4- 1, c'est-à-dire à a/»-*-* — 2^ ou à ^p.
En ajoutant membre à membre toutes les inégalités précédentes, on voit que, sauf le premier terme i, la somme des termes de la série est inférieure à la somme des te/'mes de la progression par quotient
qui a pour raison -^y c'est-à-dire qui est décroissante et illimitée. La
somme des termes de la série ne peut donc pas croître indéfiniment, el elle est bien convergente (369) lorsque {x est > 1.
4* Soit la série ordonnée
«-Hl
11 est clair que la série est divergente pour a: = i ou pour a:>i, puisqu'on retrouve alors la série harmonique ou une série dont les termes sont plus grands que les termes correspondants de la série harmonique.
11 reste donc à considérer le cas de a:< i, en valeur absolue (376).
On a ici
Un.
/i-Hl
La limite de ce rapport, pour n == x, est x, La série est donc convergente pour J7 < r en valeur absolue.
La série restera, par conséquent, convergente quand on fera varier X depuis — I jusqu'à -i- i, en excluant -h i. Nous verrons plus tard que, pour j; = — I , elle est encore convergente.
Admettons que l'on conserve dans la série, supposée convergente, les
n premiers termes. Le premier terme négligé sera (352)
9 et l'on aura
Rn =
Il -:- 2
^n-hï
c'est-à-dire
ou (336)
puisque x est moindre que l'unité.
ALGÈBRE SUPÉniEUKE. 3l
5" Soit, enfin, la série ordonnée
On a, dans ce cas, évidemment,
Un^l 2/i -+- I Un 'in -h 1
IH
Pour n = », la limite de ce rapport est x.
La série est donc divergente pour x > i et, convergente, pour x < 1 en valeur absolue, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -i- 1 .
Il y a doute pour x = ï, parce que le rapport ~^^ reste alors con-
stamment inférieur à sa limite (375).
Pour lever ce doute, comparons la série proposée, en y faisant x = 1, à la série harmonique (363)
IH i---4--4-7H-...H 1 h
Pour passer du n^^^'' terme de la série harmonique au suivant, il faut multiplier - par
n '^ n-x- i Pour passer du /z'^" terme de la série proposée, qui est
2/1 ~— I au suivant, il faut le multiplier par —
Comme les deux premiers termes des deux séries sont les mêmes, il suflit alors de comparer les deux multiplicateurs. Or on a évidemment, quel que soit le rang n,
puisque cette inégalité revient à /2 > i .
Ainsi, à partir du troisième terme, les termes de la série proposée sont constamment supérieurs aux termes correspondants de la série harmonique, et elle est, par suite, divergente (370).
3l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Théorèmes Y, VI, VU, Vin.
