X. 5/ les termes d'une série

(l) tfj-h «,-1- Ui-h U^-h,..-h Un-i-^ W»-f- Un+i-h. . .

vont constamment en décroissant à partir du premier, cette série est convergente ou divergente en même temps que la série

quel que soit le nombre entier désigné par a, et les multiplicateurs et indices i, a, a', a', . . . , a**, . . . , formant une pro^ gression par quotient dont le premier terme est i et la raison a.

Supposons la série (i) convergente et considérons le terme général a^Ua^ de la série (2), Puisque les termes de la série (i) vont en décroissant, la somme des termes successifs de cette série

II», c. — Ctturs, III. ai

est plus grande que le dernier terme Ua» répété autant de fols qu'il y a de termes dans la suite considérée. Or, de ««"-vi à i/a»y il y a un nombre de termes égal à

On peut donc poser, en multipliant de part et d'autre par a,

et, a fortiori, puisque a — i est un nombre entier,

En faisant successivement, dans celte inégalité, /i=:2, 3, . . ., /i, . . ., on a, en écrivant d'abord les deux identités

a' Wfl» < a { //

« «a' < a l Wa«-f-i

aua- au a.

^ Ua-^-t -+- W^H-s

."H Ma»),

+ Wa'-Hî -?- «a'H-3

--H Wa»)»

«** Wa«<I a(^«a«->-j.i H- aa"-'-^2 "t" U^n-i^^-^- ...-+- «/«")>

Si l'on ajoute toutes ces relations membre à membre, il vient évidemment, puisque les indices se suivent sans interruption dans les seconds membres,

Wj -h aUa -^- C^ lia" -i- a' Wa' h ... -h a" Wa" -^ - - -

< M, -r a ( Wa -h Wa+i -t- «a-HS -»" "a+3 -f . . . -H ««» H- . . . ).

Comme la série (i), dont tous les termes, en dehors de i/|, figurent dans le second membre de l'inégalité obtenue, à partir de Wa, est supposée convergente, ce second membre ne peut pas croître indéfiniment. Il en est donc de même, a fortiori, de la série (2), qui se trouve reproduite tout entière dans le premier membre, et cette série (2) est convergente (369).

Supposons, au contraire, la série (i) divergente. Puisque les termes de cette série vont en décroissant, la somme

est plus petite que le premier terme Wa» répété autant de fois qu'il y a de termes dans la suite considérée. Or, de Ma» à

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3a3

^a"+'-i> il y a un nombre de termes égal à

On peut donc poser

En faisant successivement, dans cette inégalité, n= 1,2,

Ôm • • • j flj , m » y OU a

(a — l)a Ua > Ua -^ Ua^i 4" Wa+î "+- • • .4- Wa«.-i, (a — l)a' Wa» > Ma» 4- Wa»-f-l -+" "a'-i-l 4- . . . 4- "«.„!, (a— l)a' Ma«> "a» -H Wa»-i-l + "a'-n 4- . . • 4- Wa^i, >

En ajoutant toutes ces inégalités membre à membre, il vient évidemment, puisque les termes des seconds membres se suivent sans lacunes,

{a —- i){aua-^ a^ Ua'-^- a^ Ua^-^ . . .4- a'* «««4-. . .)

Comme la série (i), dont tous les termes, à partir de Uaf figurent dans le second membre de l'inégalité obtenue est divergente, ce second membre croît indéfiniment et sans limite. Il en est donc de même, a/orliori, du premier membre, et, comme a — i est un nombre fixe, le second facteur de ce premier membre, qui représente la série (2), moins le prenoier terme Mi, croît lui-même sans limite. La série (2) est donc divergente (369).

En supposant successivement la série (i) convergente et divergente, nous avons épuisé les cas possibles. Les réciproques sont donc vraies {Géom., 40). Ainsi, les séries (i) et (2) sont toujours, ensemble, convergentes ou divergentes.

Applications des théorèmes IX et X.

387 • r Soit la série

I 3.5. ..fa« — I) 1 .3.5. . .^2/2 4- I )

324 ALGÈBRE STTPÉRIETTHE.

déjà considérée (377, 5*"). Nous allons démontrer sa divergence à Taide du théorème IX.

Si on la compare à la série harmonique

/ÏTV III II I

^ ^ 234 /l/l-hi/l-H2

il est facile de voir qu'on a ici (385)

En effet, le premier rapport est égal à et, le second, à •

Il faut donc prouver que l'on a

ou >

C'est ce qui est évident, puisque --7-— est une fraction proprement dite

{Arithm,, 196).

La série (U) étant divergente, il en est donc de même de la série (V).

2* Soit la série

2l* 31* 41* n\^ (rt-M)lA

déjà considérée (377, 3'»).

Nous allons l'étudier de nouveau, très rapidement, à l'aide du théorème X, qui est dû à Cauchy.

En supposant a = 2, on voit (386) que la série (i) sera convergeate ou divergente en même temps que la série

2ÎÏ "^ 41* "^ 81* "^ i6l*

(2) ^-^::r.-^-7r.-^zr.-^ 7^. -*-•-•»

qui n'est autre chose que la progression par quotient, illimitée.

2ix-i a'^{*~*^ 2*^1*-*' a^^H--^^ < •••!

dont la raison est r- Celte raison sera évidemment inférieure ou sa-

périeure à Vnuité, et la progression sera décroisstuUe ou croissante, suivant que l'on aura jx > ou < i .

Par suite, la série (^i) est convergente pour |x > i et divergente pour

|JL< i.