RÈGLES DE CONVERGENCE

388. Lorsque les termes d'une série ont des signes quelconques, il semble plus difficile de trouver des règles de convergence. Les théorèmes suivants sont, par cela même, très importants.

Théorèmes I, II.

389. I. Lorsqu'une série^ dont les termes ont des signes quelconques y devient convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement^ elle est convergente, et on peut la regarder comme la différence de deux séries convergentes for^ méespar ses termes positifs d'une part, et par ses termes néga-tifs, d'autre part.

La série proposée, étant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, est nécessairement convergente, puisqu'on a le droit de multiplier par — i quelques-uns des termes de la série à termes tous positifs ainsi obtenue, c'està-dire de revenir à la série proposée, sans que la convergence cesse d'exister (367, VI).

On peut donc appliquer aux valeurs absolues de ses termes toutes les règles de convergence démontrées pour les séries à termes positifs.

En second lieu, on peut considérer les termes positifs et les termes négatifs de la série comme constituant deux séries distinctes, convergentes toutes deux.

En effet, la série proposée étant convergente lorsqu'on prei^d tous ses termes positivement, la somme des valeurs

absolues de ses termes reste au-dessous d'une certaine limite iixe. Il en est donc de même, a fortiori^ de la partie de cette somme qui correspond aux termes positifs et de celle qui correspond aux termes négatifs.

Cela posé, considérons les n premiers termes de la série donnée, et admettons que, sur ces n termes, il y en ait n' positifs et n^ négatifs. Désignons par S^, S^., S'i-les trois sommes correspondantes. Nous aurons alors

S« ^= S«' — On"'

Si l'on fait maintenant croître n indéfiniment, il en sera de même évidemment de /i' et de n". Par suite, les trois sommes indiquées marcheront à la fois vers leurs limites S, S', S', qu'elles atteindront ensemble, et Ton trouvera Qnalement

Cette conclusion est indépendante de l'ordre dans lequel on écrit les termes de la série proposée, et il est permis, par conséquent, de choisir celui qui paraîtra le plus convenable.

On peut d'ailleurs, si Ton en doutait, démontrer directement le théorème qui suit.

390. II. Lorsqu'une série, dont les termes ont des signes quelconques, déifient convergente quand on les prend tous positivement , on peut intervertir arbitrairement l'ordre de ses termes, sans que la convergence cesse d* exister et sans que la valeur de la série soit modifiée.

Ce théorème doit être signalé, surtout parce qu'il peut permettre, par un autre groupement des termes, d'obtenir des séries plus rapidement convergentes.

Désignons par (U) la série

telle qu'elle est donnée, et par S sa limite. Désignons par (Q) la série

(Q) ^0-+- ^1 -H g'j -f- g'j 4- . . . -f- qn-i -H ^« 4- ^n+iH-. • -,

obtenue en prenant tous les termes de (U) positivement. Désignons enfin par (V) la série

formée en disposant d'une manière différente et arbitraire les termes de (U), et soit 2 la limite de (V).

Si Ton considère la somme 2^ <l6s m premiers termes de (V), on peut toujours prendre m assez grand pour que 2^ renferme les n premiers termes de (U), plus m — n autres termes d'un rang plus élevé, de manière à avoir

2^== S„-h Wa-h wp-h Wy-f-. . .-h MX-

On peut admettre d'ailleurs que ces m ~ /i autres termes, les uns positifs, les autres négatifs, soient compris, par exemple, entre ii^^i et u^^p.

II en résultera successivement, les termes de la série (U) étant pris avec leurs signes,

(i) 2;„— S„=zMa-h wp-f-M^ -h...-i u\^qa^^q^'\-g^'^.,.~^q\.

Si Ton fait maintenant croître n indéfiniment, il en sera de même de m qui comprend /i. Le second membre de Tinégalité (a) et, par suite, son premier membre, aura alors zéro pour limite, quel que soit/?, puisque la série (Q) est convergente (365).

On aura donc aussi, d'après l'égalité (i),

lim{2;„ -S„)~ o, c'estrà-dire(3U)

lim2;„— limS;,- o ou 2=: S.

U faut remarquer avec soin que la démonstration qui précède est fondée sur la convergence de la série (Q).

Influence de Tordre des termes.

391. La réciproque du théorème I (389) n^est pas vraie, c'est-à-dire qu'on ne peut pas affirmer qu'une série dont les termes ont des signes quelconques et qui devient divergente lorsqu'on les prend tous positivement est réellement divergente : elle peut être convergente.

Il y a ainsi deux espèces de séries convergentes. Dans les unes, la convergence n'est due qu'au décroissement convenable des termes; dans les autres, elle résulte seulement de

la succession des signes. Les premières restent nécessairement convergentes quand on prend tous leurs termes positivement, les secondes deviennent divergentes.

392. Il résulte alors de la démonstration du théorème II (390) que, dans une série convergente ^ qui ne reste pas telle quandon prend tous ses termes positivement (391 ), on ni! a plus le droit de modifier l'ordre des termes d'une manière quelconque. Ce serait s'exposer à changer la somme et même la nature de la série.

393. C'est ce que nous allons prouver, en prenant pour exemple la série même employée par Lejeune-Dirighlbt pour justifier cette intéressante et utile observation.

Cette série est la suivante :

Elle est évidemment convergente, car on peut écrire

et la série ainsi obtenue

identique à la proposée, est elle-même convergente (370), puisque ses termes sont respectivement inférieurs à ceux de

la série

dont nous avons déjà établi la convergence (377, 2<^)*

Or la série (i), dont nous venons de démontrer la convergence, devient divergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement. Elle est, en effet, remplacée alors par la série harmonique (363).

Cela posé, nous allons grouper autrement les termes de la

série (i), en prenant constamment deux termes positifs et un terme négatif dans l'ordre même fourni par les termes de la série. On obtient, de cette manière, une nouvelle série

f I I I I I I I ^ 326749 II 6

où les termes positifs sont avancés et les termes négatifs reculés. Bien que les termes soient identiques de part et d*autre, nous allons montrer que les deux séries n* ont pas la même limite.

Remarquons que, lorsqu'on prend deux par deux les termes de la série (i), le «**"• groupe a pour expi'ession

En faisant dans cette expression /i = i, 2, 3, . . . , /i, on obtient, deux par deux et dans leur ordre, les différents termes de la série. Par suite, on peut égaler la limite S de la somme de la série (i) à la somme des valeurs obtenues en donnant à /t, dans l'expression (a), toutes les valeurs entières possibles depuis n -^ i jusqu'à /i ==00. C'est ce qu'on exprime en posant

(A) S=:Vf— ^ LV

On peut également prendre quatre par quatre les termes de la série (i). Le /i'*™« groupe a, dans ce cas, pour expression

En y faisant, de même, n — i, 2, 3, - • -9 n, on obtient, quatre par quatre et dans leur ordre, les différents termes de la série. Par suite, on peut égaler aussi la limite S à la somme des valeurs obtenues en donnant à n, dans l'expression (P), toutes les valeurs entières possibles depuis n =: 1 jusqu'à /i = 00. On a donc encore

nz=:

(B) s=yf,-^„--;-^ + 7-i — /-Y

Jmd\[^n — 3 ^n — 2 [^n-^i (\nj 11 = 1

3;io ALGÈBRE SUPÉMEUEE.

D'autre part, si l'on prend trois par trois 1 *' 'e (3), le /i'*°" groupe a pour expression

En y faisant n = 1, 2, ^, . . ., n, ©n obtient et dans leur ordre, les dilTérenm termes de la i en désignant par S' la limite de la somme de peut l'égaler <t la somme des valeurs obtenu) n, dans l'expression {y), toutes les valeurs en depuis n =: 1 jusqu'à « - ce, et poser

Retranchons, à présent, l'expression ({5) de 1 Le résultat de cette soustraction est

\insi, la difTérence des deux expressions (y) e sèment la moitié de l'expression (a). On a d nient, c'est-à-dire quel que soit n,

Si nous donnons à n, dans cette identité, loi entières possibles depuis n—i jusqu'à n^ ajoutons membre à membre tous les résultats aurons évidemment, d'après les formules (A),

quelle que soit S.

Comme la série (1) est convergente, il résu série (a), tout en changeant de somme, est gente : c'est ce qui n'arrivera pas toujours.

Des séries à signes alternés (théorème III).

394-. m. Lorsque les termes d'aune série sont alternativement positifs et négatifs, et qu'ils décroissent indéfiniment en valeur absolue en ayant pour limite zéro, la série est convergente.

Nous donnerons deux démonstralions de ce théorème remarquable.

Première démonstration, — On peut appliquer directement le caractère général de convergence des séries (365). Soit, en mettant les signes des termes en évidence, la série

«0— "i+ Ut— "8+ "♦ — . . hP "/*-^i=t: w„=f: w^-f-i =î=

Pour qu'elle soit convergente, il faut et il suffit qu'on ait

lira ±: (tf„— «„-H,-f- w«4-s— "«4-3 + . •— w«-hp-i) — o,

quel que soit /?, quand n croît indéfiniment. Mais, s*il s*agit de démontrer qu'une quantité dont la valeur absolue est A a pour limite zéro, son signe n'exerce aucune influence, puisqu'on a (340)

lim =b A"±: limA.

Il suffit donc de considérer l'expression

Un — art j.|4- £/n-4-9 — ^«-4-8 ~^ • • • ^~ "/i+p-f

Comme on a, par hypothèse,

il est évident que cette expression est, à la fois, positive et plus petite que a„. On peut, en effet, l'écrire des deux manières suivantes :

\ ( !/« — '^/n-l) -H (W/j-Hî — W/*-*-3^ -r- . . . -i- ( Un-^p-n U,i^p-\ )

* et

Elle est donc comprise entre o et «„, et c'est une moyenne entre ces deux extrêmes. Comme d'ailleurs u^ tend vers zéro quand n croît indéfiniment, elle a donc finalement zéro pour limite, et la série proposée est convergente.

On voit que, lorsqu'on conserve seulement les n — i premiers termes de la série, Terreur absolue qu'on commet est inférieure à Un*

Deuxième démonstration, — Soient S la somme de la série, supposée convergente, et Si, Sj, 83, . . ., S„ les sommes partielles formées par le premier, les deux premiers, les trois premiers, . . ., les n premiers termes de la série.

En remarquant que les sommes dMndices impairs sont terminées par un terme positif et celles d'indices pairs par un terme négatif, on peut écrire ces sommes partielles comme il suit :

Sî="o— "l,

S*=(Mo— «l)-+- («2— «3)»

S,— Wo— (W,— M,) — (Wj— W4),

85= (Mo— Wi)-!- (Wj— tfj) -+-("4— "«)»

Comme on a, par hypothèse,

Mo> Wl> «J> "3> «*> "i> ««>• . .,

on voit que les sommes d'indices impairs vont constamment en diminuant, tandis que les sommes d'indices pairs vont constamment en augmentant. Les sommes d'indices impairs constituent donc une suite indéfiniment décroissante et, les sommes d'indices pairs, une suite indéfiniment croissante.

Il est d'ailleurs facile de prouver que les sommes d'indices impairs sont toutes plus grandes que les sommes d'indices pairs, quelles que soient les sommes que l'on compare.

n et n' étant des entiers quelconques, prenons, par exemple, les sommes

Nous distinguerons deux cas, suivant que n' sera < ou >«.

Soit n' < n.

Les sommes d'indices pairs allant en augmentant, on a

alors

Sj»>- Sju',

Mais, puisque Sj^+i ::= 8,^ -f- m,„, on en conclut, a fortiori,

Soit n! > n.

Les sommes d'indices impairs allant en diminuant, on a

Mais, puisque Stn+i^ Sjv-^ «i»» on en conclut, a fortiori,

Il résulte de là que, si les sommes d'indices impairs vont constamment en diminuant, elles restent toujours supérieures à une somme quelconque d'indice pair. Elles tendent donc vers une certaine limite fixe, qui est le plus petit nombre audessous duquel elles ne peuvent pas tomber.

De même, si les sommes d'indices pairs vont constamment en croissant, elles restent toujours inférieures à une somme quelconque d'indice impair. Elles tendent donc aussi vers une certaine limite fixe, qui est le plus grand nombre qu'elles ne peuvent pas dépasser.

Nous n'avons plus qu'à prouver que les deux limites indiquées sont les mêmes et qu'elles représentent la somme S de la série.

En efîeif d'après la loi de décroissance des termes, les sommes d'indices impairs étant terminées par un terme positif l'emportent toutes sur S, et les restes correspondants de la série sont négatifs.

De môme, les sommes d'indices pairs étant terminées par un terme négatif sont toutes inférieures à S, et les restes correspondants de la série sont positifs.

En prenant deux sommes partielles consécutives, Ssn et Sso+i9 on peut donc écrire, quel que soit n.

Or on a

et, par hypothèse, à mesure que n croît indéfiniment, u^n tend vers la limite zéro. Les sommes partielles considérées, dont la différence est un infiniment petit (336), tendent donc constamment vers une limite commune et, comme elles com-

prennent toujours entre elles la somme S, cette limite commune est précisément S.

La convergence de la série est ainsi démontrée.

D'après ce qui précède, la limite supérieure de Terreur commise en s'arrétant à un certain terme de la série est représentée en valeur absolue par le terme suivant. En prenant Sin au lieu de S, Terreur commise est, en valeur absolue, moindre que le premier terme négligé Mj».

Si le premier terme négligé est positif. Terreur est par défaut; si le premier terme négligé est négatif. Terreur est par excès.

395. Nous avons supposé, dans notre deuxième démonstration, que la série commençait par un terme positif. La seule différence, si elle commençait par un terme négatif, c'est que la série et toutes les sommes partielles considérées seraient négatives au lieu d'être positives.

396. Il n'est pas inutile de représenter graphiquement les résultats qu'on vient d'obtenir.

Sur une ligne droite indéfinie OX, à partir d'une origine fixe 0, portons, dans le môme sens, des longueurs proportionnelles aux différentes sommes partielles.

Les longueurs OSi, OSj, OS5, ..., correspondant aux sommes d'indices impairs, vont en diminuant; les longueurs OSj, OS4, OSe, . . ., correspondant aux sommes d'indices pairs, vont en augmentant. Les extrémités de ces deux suites de longueurs occupent sur la droite OX des régions complètement distinctes et qui ne peuvent empiéter Tune sur l'autre; mais elles se rapprochent constamment, de sorte que, à la limite, il n'y a plus, entre les deux régions, qu'un simple point de démarcation S. La longueur OS est proportionnelle à la somme S de la série.

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