i . 4 • 3 . . . 1 1 . 1 ji . I i

et elle est par excès.

On voit que cette série est rapidement convergente.

a** Soit la série

Cherchons si elle est convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, en appliquant les théorèmes des n*^ 373 et 376. On a ici

Un^x n ■'■ I

Un n -r 2

La limite de ce rapport, quand n croit indéfiniment, est x, La série est donc convergente, tant que x est moindre que i en valeur absolue, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -+- 1.

Pour a; = I, la série est encore convergente, puisque ses termes, alternativement positifs et négatifs, décroissent alors indéfiniment en valeur absolue et tendent vers zéro (394).

Mais, pour x = — i , la série est divergente, car elle n'est alors que la série harmonique prise avec le signe moins.

Il en résulte immédiatement que la série est divergente pour toutes les valeurs de x inférieures à — i. On a, en effet, dans ce cas, une série dont les termes, tous négatifs, sont respectivement plus grands, en valeur absolue, que les termes correspondants de la série harmonique changée de signe.

n ne reste plus qu'à chercher ce que devient la série pour les valeurs de X supérieures à i.

D'après la valeur du rapport -^^> cette série est bien divergente

pour X > I , lorsqu'on prend tous ses termes positivement ; mais cela ne permet pas d'affirmer qu'elle est réellement divergente (391).

Si l'on essaye d'appliquer le théorème 111 (391), on voit facilement que les termes de la série, bien qu'alternativement positifs et négatifs, ne vont pas en décroissant en valeur absolue, et n'ont pas zéro pour limite, si a: est > i .

En effet, considérons la valeur absolue du terme général de la

série. Supposons qu'on ait x= i + a. On en déduit (2^)

j:»-+-i = (i -f-a)'»+> = n-(/i -h i)aH a»--. . .

ou, évidemment,

Ainsi, les valeurs absolues des termes de la série, à mesure que n augmente, restent supérieures à a.

Par suite, les termes de la série ne tendent pas vers zéro, et la série n'est pas convergente (362). Gomme elle ne peut pas être indéterminée, elle est divergente.

En résumé, la série proposée est divergente depuis x = — oo jusqu'à x = — I inclusivement; elle est convergente pour toutes les valeurs de X supérieures à — i , jusqu'à ■+■ i inclusivement ; elle est de nouveau divergente pour toutes les valeurs de x supérieures à + 1 , jusqu'à

3" Soient les deux séries

que nous retrouverons plus tard comme développements de sin.r et de cosx.

Appliquons à ces séries le théorème du n" 373, en ne considérant que les valeurs absolues de leurs termes. Nous aurons, pour la première série,

Un ~ {1in-r- 2){in'T-'6 )

et, pour la seconde série,

«rt-t-i •'^'

Un {^•in -h i){'Àn-i' 2)

Ces deux rapports, pour toute valeur déterminée de Xy tendent évidemment vers la limite zéro quand n tend vers Tinfini.

Les séries proposées sont donc convergentes, pour toute valeur finie de X, lorsqu'on prend tous leurs termes positivement.

Il en résulte qu'elles le sont en réalité (389) pour toute valeur de Xy positive ou négative, mais finie.

De C. — Cours, m. 13