Convergence de la série
Nous avons ici (373)
Un /l 4- 1
Ce rapport, plus petit que i, tend vers la limite zéro, lorsque n croît indéfiniment : la série est donc convergente.
400. 1^ Limite de l'erreur commise sur la somme de La série, en s*arrétant à un certain terme.
Supposons qu'on s'arrête au terme u^ inclusivement, et cherchons la limite de l'erreur que l'on commet alors sur la valeur de la série.
ALGÈBRE SUPÉniEUILF. SSq
On a
et, à partir de ce terme, le rapport d'un terme au précédent est égal, puis inférieur à On a, par exemple,
Un
On peut donc prendre le nombre fixe k < i, au-dessous duquel le rapport — ^^ finit toujours par tomber en tendant vers
Un
sa limite (371, 373), égal à Alors, le premier terme
négligé WrtH-ia pour expression /:«/„, et les suivants sont moindres que k^Unt ^'«n; . . , de sorte que (371) la limite de Terreur commise en conservant les (/i -h i) premiers termes de la série est inférieure {Alg. élém,, 342) à
kun
r=rk'
c'est-à-dire à
Si l'on désigne par e Terreur commise en s'arrêtant à u„ inclusivement, on a finalement
Wl. 3** La limite de la somme de la série est un nombre incommensurable compris entre 2 \ et Z,
La somme de la série est comprise entre les nombres 2 \ et 3.
En effet, les trois premiers termes de la série constituant une somme égale à 2 |, la valeur de la série est supérieure à ce nombre.
D*autre part, les termes suivants de la série satisfont évi-
34o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
dcmment aux inégalités
