Limite de ( \-\ ) ou de i ï | y quand m tend

\ ni) \ nij

vers l'infini.

Il peut arriver que, dans l'expression ( n J ^ le dénominateur de la fraction comprise dans la parenthèse et l'exposant de la puissance soient de signes contraires. La limite de la nouvelle expression, pour /w z^oo, est alors l'inverse de

la limite précédente ou -• En effet, on a évidemment

\-\ —- ri;r>

c'est-à-dire (3W, 415)

lim( 1 H ] = -•

De même, on a

c'est-à-dire (3W, 415)

limf.-i-r =i

Série ^.

418, Au lieu de l'expression f i -h — j , considérons enfin l'expression

OÙ m est supposé tendre vers Tinfini et où la variable x a une valeur quelconque, mais déterminée.

£n prenant d'abord m entier, positif et très grand, pour pouvoir appliquer la formule du binôme, on prouvera, en raisonnant comme on l'a fait au n<^ 411, puis aux n^' 413 et 414, que l'expression proposée a toujours pour limite (415), au lieu de la série e, la série

IH 1 1 ô -^ ' . *-\-

dont la série e n'est qu'un cas particulier et que nous avons étudiée au n^ 404.

Cette série est convergente, comme on Ta vu, pour toutes les valeurs déterminées de x^ quelles qu'elles soient.

On a d'ailleurs, identiquement (150),

X Tït I

On peut poser — :^a, d'où — = -• L'expression précé-

/#» X ce

dente devient ainsi, en fonction de a,

• Comme, par hypothèse, x a une valeur déterminée, a tend Ters zéro quand m tend vers l'infini, et réciproquement. A la

limite, pour m = oo ou a = o, l'expression (i-ha)* devient égale à e (416). On a donc finalement (345)

lim( :