DES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

Emploi de la méthode des coefficients indéterminés.

U9. Cette méthode (25) a fait connaître un grand nombre de développements en séries. Son application est simple et rapide; mais il ne faut pas oublier la remarque déjà faite relativement à son mode d'emploi (30), et Ton doit vérifier avec soin l'exactitude des résultats auxquels elle conduit.

420. Proposons-nous, par exemple, de développer en série une certaine fonction de la variable x. Admettons que cette fonction Y{x) demeure réelle et varie d'une manière continue {Alg. élém.y 310), lorsqu'on fait croître la variable x elle-même d'une manière continue à partir de zéro, et cherchons la série qui peut légitimement représenter la fonction, en la supposant ordonnée suivant les puissances ascendantes de X, entières et positives.

Nous poserons alors

(l) F(a:):i=AH-Bj7H-Cjr«H-Dj?'-hEj7*-4-...,

en désignant par A, B, C, . . ., les coefficients indéterminés, indépendants de Xy dont il faut calculer la valeur dans la série du second membre.

En ayant alors recours à une propriété de la fonction F(a?) facile à mettre en évidence, on cherchera à exprimer cette propriété à l'aide de la série supposée, de manière à parvenir à une égalité telle que

(a) P -h Qo; -^ Rjc«4- S j?» -h T:r* 4- . . . = o.

Dans cette nouvelle égalité, P, Q, R, ... seront des quantités indépendantes de or, composées avec les coefflcients

356 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

indéterminés A, 6, C, — Maïs Tégalité (2) devant subsister, quel que soit x^ est une véritable identité (16, 17) conduisant aux conditions

(3) P=io, Q — o, R = o,

Ces équations (3) permettent, en général, de trouver tous les coefficients A, B, C, Il faut, dan.s certains cas, quelques-uns de ces coefficients demeurant inconnus, remonter à l'équation (i) pour les découvrir en faisant usage de propriétés spéciales de la fonction donnée F(^).

^21. On ne peut d'ailleurs opérer comme on vient de Tindiquer, que si, dans la relation (i), la série représente légitimement la fonction, au moins pour certaines valeurs de x, qui seront ordinairement les petites valeurs de la variable» inférieures à l'unité. Il est donc indispensable que la série soit convergente pour ces petites valeurs de x (354.). Et, si cette convergence n'est pas établie a priori, il faut la vérifier après coup avec le plus grand soin et montrer que la série représente bien la fonction dans les limites indiquées.

422. Il est clair (\\x*une même fonction F(j?) ne peut correspondre qu'à une seule série convergente de la forme

Si Ton trouvait un second développement de même forme,

il devrait être égal au premier, et l'on aurait

\ A -hBx-hCa?--4-Dx'H-. . .

Comme cette dernière égalité, vraie quel que soit x dans les limites convenables, est une identité, on en déduit immédiatement (17)

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 357

En d'autres termes, deux séries convergentes , ordonnées suivant les puissances ascendantes de Xy entières et positives, ne peuvent être égales sans être identiques,

EXEMPLE

^23. Pour bien fixer les idées sur les considérations précédentes, nous traiterons l'exemple suivant :

Dt^lopper en série ordonnée le produit indéfini

Désignons ce produit par $, et posons

$ = iH- Ai.r -4- Ajj:2h- Aa-r^^-. . .,

Al, As, A3, ... étant les coefficients à déterminer dans la série supposée.

Si Ton change x en j7* dans celle s^r!e, elle devient

i-f- Aix*-+- Ajx*-h As-rfi-f-

D'autre part, si Ton effectue le môme changement dans le produit donné, il devient évidemment

(i -f- J7«) (iH- X*) (i-h JF«) (i -t- ar««) (i -f- X»*). . . , c'est-à-dire

On doit donc avoir

. - . . , „ i-H Ai,r-+- Aj.r*-+- A^x^-H.. .

i-hAiX*-f- Aj-r^-HAs-r^-H. ..= .

i-Hx

Au lieu de former la relation

P-f-Qx-f-Rx» 4- Sx» -+-...= G

du n* 4^, et d'égaler ses coefficients à zéro, il revient au môme de chasser le dénominateur i + x et d'égaler les coefficients des mômes puissances de x dans les deux membres de l'égalité qu'on vient d'obtenir.

On trouve ainsi, successivement,

Ai = i, Al = Aj, Al — A3, Aî=A4, At=As,

cest-à-dire Al = I , Al = Aj, Aj=A8, A3— A4, A4= As, .... On a donc, finalement,

( (i + ^)(i-^.rî)(l-h.r^)(i-h.r8)(i-f-xt6)... ( = I }- j:- | ^ï j jc» -i- j,-* -h ,r* -+- x6 H-

Le second membre de l'égalité (1) représente légitimement le quotient 3 lorsque j^ est <i (336); il représente donc aussi légiti-

moment, sous la même condition, le premier membre de cette égalité. On a, en effet, identiquement,

I IH- .r ( I -4- .r ) ( I -h ./•* )

(l-h j:)(i-+-.r«)(i -h. r* )...(! -i-xS"-')

Pour la /i^"* fraction, n entier tend vers l'infini et, x étant < i , x»""' est un infiniment petit qui s'annule à la limite (336). On trouve donc

alors, pour valeur du premier membre de l'égalité (i), le quotient

ou le second membre do cette égalité.

Le développement en série est ainsi justifié.

Déyeloppements en séries des â-actions continnes dont les numérateurs des à-actions intégrantes sont tous égaux à l'unité.

424.. Nous rappellerons d'abord que, lorsqu'on réduit une quantité quelconque en fraction continue (151), les réduites de rang impair, inférieures à celte quantité, forment une suite croissante, tandis que les réduites de rang pair, supérieures à celte quantité, forment une suite décroissante (15!h, 155, 156). Ces deux suites se terminent quand la quantité considérée est conimensurable, et la dernière réduite reproduit sa valeur. Quand celle quantité est un nombre incommensurable, la différence de deux réduites consécutives allant toujours en diminuant et tendant vers zéro, les deux suites indiquées se rapprochent indéfiniment el convergent vers une limite commune qui est ce nombre incommensurable (163).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. iSg

i-SS. SoilX la quantité réduite en fraction continue. Représentons les réduiles successives par

Pi Pj P3 P/i

On peut écrire identiquement, comme valeur de la réduite P«

f Ll - L* ^ ^L» M ^ ^ Pf £!

IQ.. ~Qi IQ2 QiJ \Q. Q.

En considérant les fractions renfermées dans les parenthèses du second membre de cette identité, on sait que le numérateur de la différence de deux réduiles consécutives est toujours =h 1 suivant le rang de la première réduite (160, 161).

Nous aurons donc à la limite, puisque -pr^ converge autant

qu'on veut vers X à mesure que l'entier n tend vers Tinfini,

X sera ainsi la limite de la série convergente écrite dans le second membre de l'égalité (2) et obtenue en fonction des éléments de la fraction continue qui correspond à X.

426. Tout développement en fraction continue pouvant ainsi donner lieu à un développement en série, il est naturel de chercher, réciproquement, à développer en fraction continue toute série convergente.

Mais alors on est conduit, comme nous le verrons bientôt, à des fractions continues dont les numérateurs des fractions intégrantes ne sont plus tous égaux à V unité.

Avant d'aller plus loin, nous croyons donc nécessaire d'exposer succinctement les propriétés de ces fractions continues, plus générales que celles que nous avons considérées jusqu'à présent.

Digression sur les fractions continnes dont tons les éléments peuvent être des nombres quelconques.

427. Nous allons considérer des fractions continues de la forme

OÙ les numérateurs «i, a,, «3, . . ., des fractions intégrantes

• - ) peuvent êlre des nombres quelconques différents de l'unilé.

/JK4\ ^I ^ï ^î

(151) T-> 7-^ -r-j ai ô^ 63

428. Calculons d'abord les premières réduites, pour chercher à découvrir leur loi déformation.

Les quatre premières réduites sont les suivantes :

Première réduite :

Deuxième réduite :

abi -+- «,

Troisième réduite :

a^t ^1 H- 'Tfi ^t 4- aa^

Quatrième réduite :

rtj^î

Jf3

^1 ^î^j-H û^iûT,

6j 6j 6, 4- 6, as -h a, b^

abx b^ 65 4- «1 6j ^3 4- aa, ^3 -h ab^ a^ bi 6j bg 4- «j 63 -h ^, «3

a* Ut

On aperçoit immédiatement, pour la troisième et la quatrième réduite, (\W il faut multiplier les deux termes de la dernière réduite calculée par le dénominateur de la nouvelle fraction intégrante introduite et ajouter le résultat obtenu terme à terme avec la réduite anté précédente, en multipliant préalablement les deux termes de celle-ci par le numérateur de la nouvelle fraction intégrante.

Nous allons généraliser ce résultat, en remarquant que, si les numérateurs des fractions intégrantes sont tous égaux à l'unité, on retombe sur la loi connue (157).

Désignons symboliquement les réduites successives de la fraction continue par

Qo'

Tindice se trouvant ainsi en retard d'une unité sur le rang de la réduite.

Si l'on applique l'énoncé précédent à trois réduites consé-

cutives quelconques tv^— ^j tt^j TT^ ^ ^" obtient la formule

/ V P/iH-1 ' n bn+\ ~t~ P/t~l ^/t-t-l

où les termes des deux fractions sont séparément identiques, c'est-à-dire satisfont aux relations

V/i-Hl^ Q«^/n-l ~+" V/i-l^rt-»-l»

Pour montrer que la formule (i) subsiste toujours, il suffit, suivant un tour de démonstration usité, de prouver que, si elle est vraie lorsque l'on considère les fractions intégrantes jusqu'à

T — 5 elle l'est encore lorsqu'on passe à la fraction intégrante

Or, en se reportant à l'expression de la fraction continue

p (427), on voit que, pour déduire la réduite j^^^ de la réduite

: ""^' ? on n'a qu'à changer, dans le second membre de la for-

mule (i), b,t+i en ^«-m-h j^^—^- On trouve ainsi

^n-hi

PP/l ( ^/l-Kl -t- T ) 4- P/i-l^/H-1

ou, en chassant le dénominateur ^n+s^

On en déduit immédiatement, d'après la formule (i),

Ainsiyiorsque l'on considère une nouvelle fraction intégrante et une nouvelle réduite, la formule (i), supposée applicable jusque-là, se trouve encore vérifiée. Comme on Ta démontré directement pour la troisième et la quatrième réduite, elle se trouve établie pour la cinquième, et ainsi de suite. Elle est donc tout à fait générale et exprime la loi de formation des réduites.

4-29. On peut facilement, comme nous l'avons fait pour les fractions continues spéciales, étendre cette loi de formation à la deuxième réduite elle-même.

En introduisant, en dehors des réduites réelles, la réduite

fictiK^e -7 nous aurons la suite (4.28)

I Po a Pi a^i-f a

o Qo I Q, 6,

et la deuxième réduite — sera bien liée, suivant la même

règle, aux réduites tt^ et -•

Qo o

WO. Proposons-nous de déterminer la différence de deux réduites consécutives.

On a

Il faut trouver V expression générale du numérateur de cette différence, qui se réduit à zt i quand tous les numérateurs des fractions intégrantes sont égaux à l'unité (161). Prenons les relations (&28)

P/I4-1 ^=- P/» '^/H-l -H P/l-l ^/l-Hl»

En substituant ces valeurs de Vn+\ et de Q^-^i dans le numérateur P„H-iQn— Q«-hiP«, il vient

(P«^*4.i-hP/,-i^«-hi)Q/i— (Q/,^«-hi + Q/,-i«/i-»-i)P,i

^^ (* /iVj/i-l — vJ«P/i-l )^/n-i'

On obtient donc la formule générale

u) Pn^iQ«-Q„^,P. = (-i)(P«Q«--,-Q«P«--i)««.i.

En faisant successivement, dans cette formule (i), n—.\^ 2, 3, 4, . ., /«, on en déduit les relations

P. 0,-Qt P,-(-0(PiQo -QiPo )«2, P. Q2-Q3 P2^(-0(P2Qi -QiPi )«»,

P»^iQ«-Q,i^-iP«=(-0(P«Qn-i-Q«P« i)««^..

Remarquons que les deux premières réduites (428) Po « Pi ^ ^^1 -+- «l

Qo I Qi ^

ont précisément, pour numérateur de leur différence,

PiQo-QiPo=«,.

Il en résulte évidemment que, si Ton multiplie membre à membre toutes les relations précédentes, on obtient, après simplification,

(2) Pn-hiQ/»— Q«4-iP/i=^(— O'^^i^ï^a^i^-^/i-Hi-

Si les numérateurs «i, «f, as, . . ., a,,^., des fractions intégrantes sont tous égaux à Tunité, on retrouve bien la formule connue (161). En effet, Tindice /n-i indique (428) qu'il s'agit, comme première réduite, de la réduite de rang w + 2. Or, /i -h 2 est pair ou impair en môme temps que n.