I. Considérons d'abord une série S de la forme

On peut écrire identiquement

I I rt, — a, I

a, rtj «1^, ^J

a,— aj

Remplaçons dans cette égalité — par , c'est-à-dire

par

«3 — flj

Cela revient évidemment à remplacer a,, dans — > ou a,.

d'une manière générale, par

ûTj — flf ^ ^ ^3 — ^>

En effectuant les deux changements correspondants dans les deux membres de l'égalité (i), nous aurons

Nous pourrons de même remplacer, dans le premier membre

de l'égalité (a), — par et, dans le second membre,

a, par at

La loi est évidente et, en continuant toujours la même

transformation, on voit que la valeur de la série indéfinie S

en fraction continue illimitée est la suivante :

La fraction continue présente la même convergence que la série, puisque le nombre des fractions intégrantes conservées dans le second membre de la formule (3) est égal à celui des termes considérés dans la série.

Il est clair que, si la série donnée était divergente, la fraction continue correspondante, qui est une fraction continue générale (^27), le serait aussi.

EXEMPLES