NOTIONS SUR LA CONTINUITÉ

Variables et fonctions.

439. En Algèbre, où Ton emploie des symboles généraux, il semble qu'on puisse toujours substituer à ces symboles des valeurs quelconques. Mais il y a lieu de distinguer, dans chaque question, entre les variables et les constantes.

On appelle variable toute quantité qui, dans la question proposée, est regardée comme devant prendre successivement des valeurs différentes.

On appelle constante toute quantité qui, dans cette même question, est regardée comme devant conserver une valeur 6xe.

Les variables sont, par cela même, indéterminées; les constantes sont déterminées.

C'est en étudiant renoncé de la question qu'on sépare dans chaque cas les variables et les constantes.

440. Toute quantité qui dépend, suivant une loi quelconque, d'une ou de plusieurs autres quantités, et qui varie en même temps qu^elles, par suite de leurs propres variations, est dite fonction de ces quantités.

441. Soient, par exemple, les deux quantités a: et^, supposées telles, que si l'on donne à x une valeur déterminée,

/ prenne à son tour et nécessairement une autre valeur déterminée. / dépendra alors de x et, quelles que soient la nature de cette dépendance et la série des opérations à effectuer pour déduire, de la valeur donnée à x^ la valeur correspondante ou simultanée de j, cette quantité variable y sera une fonction de la quantité variable x. D'ailleurs, comme c'est x que Ton fait, dans cette hypothèse, varier directement et arbitrairement, on dit que x est la variable indépendante.

On conçoit que x est réciproquement une fonction de y regardée comme variable indépendante.

Cette fonction / de ^ et cette fonction x de 7, qui ne sont que deux modes d'expression d'une liaison identique, sont dites inverses Tune de l'autre. Nous reviendrons sur les/o/ictions inverses,

kk2. On peut avoir plus de deux variables à considérer.

Si la quantité variable u dépend, comme on vient de l'expliquer pour y comparée à Xy de plusieurs autres quantités variables x^ yy z, . . . , c'est-à-dire si u est nécessairement déterminée lorsqu'on donne à a?, j, s, ... des valeurs déterminées, on dit que u est une fonction de x, j^, <s, . . . , regardées comme variables indépendantes.

Uhl^, Pour indiquer d'une manière générale qu'une variable est fonction d'une seule variable Xy sans préciser par quelles opérations elles dépendent l'une de l'autre, on emploie les notations

F(J?), f{x), <p(x-), Fi(j7), X,

De même, on indique une fonction de plusieurs variables Xy yy z, ... par les notations analogues

F(^,7, 2y ...), f{Xyy, z, ...), ^{x,yyZy ...), ¥i{x,y,Zy ...).

Nous en avons déjà vu de nombreux exemples.

On peut toujours employer les notations précédentes, dès qu'on est certain que les quantités considérées sont fonctions l'une de l'autre ou l'une des autres, lors même que la loi qui les lie n'est pas exactement connue ou n'est pas susceptible d'une expression analytique.

Comme on le sait déjà, si l'on attribue à x une valeur spéciale a, le résultat de la substitution de a à la place de x dans F(x) est représenté par F (a). De môme, F(a, è, c, ...)repré-

ALGÈBRB SUPÉRIEURE. 3^3

sente le résultat de la substitution des valeurs a, b, c, . . . , à la place de :i:, /, ^, . . . , dans la fonction ¥{0;^ y^ z, . . .).

kkk. Supposons qu'on ait

Si l*on conçoit cette équation résolue par rapport à ar, on en déduit

Les deux fonctions désignées par les signes F et 9 sont ce que nous avons appelé des fonctions inverses. La remarque faite à ce sujet (Wl) acquiert une pleine évidence, lorsqu'on regarde/ comme l'ordonnée de la courbe qui représente ^raphiquement la fonction y=iF{x) et œ comme son abscisse {Àlg. élém., 312 et suiv.). La courbe étant construite, il est clair que l'on peut aussi bien regarder l'ordonnée d'un de ses points comme fonction de l'abscisse, que l'abscisse elle-même comme fonction de l'ordonnée.

W5. En général, les variables qui entrent dans une question sont liées entre elles par un système d'équations exprimant toutes les conditions de l'énoncé.

Ily a toujours plus de variables que d'équations; sans quoi, elles seraient, en général, déterminées, et ne joueraient plus le rôle de variables.

Supposons, par exemple, qu'on ait six variables et quatre équations. On choisira alors deux variables qu'on regardera comme devant recevoir des valeurs arbitraires et qui seront les variables indépendantes. Les quatre autres variables, déterminées par les valeurs des deux premières, à l'aide des quatre équations posées, seront des fonctions de ces deux premières variables.

Si Ton cherche l'aire d'un cercle, les deux variables sont l'aire du cercle et son rayon, liés par une seule équation (Géom,, 259). On peut alors prendre le rayon pour variable indépendante, et dire que l'aire du cercle est fonction de son rayon.

De même, si Ton cherche le volume d'un cylindre de révolution, les trois variables sont le volume du cylindre, sa hauteur et le rayon de sa base circulaire, liés par une seule équation (Géom,, 443), On peut alors prendre la hauteur et le

rayon pour variables indépendantes el dire que le volume du cylindre de révolution est fonction de sa hauteur et du rayon de sa base.

Différentes espèces de fonctions.

kk6. Les fonctions appartiennent naturellement à deiu catégories principales : elles sont algébriques ou transcendantes.

Dans le sens le plus général, y est une fonction algébrique de Xy quand chaque couple de valeurs correspondantes dexet de y satisfait à une équation de la forme

dont le premier membre est un polynôme entier et rationnel en X et en y.

Cette définition s'étend aux fonctions de plusieurs variables. Ainsi z est une fonction algébrique de a? et de/ quand chaque couple de valeurs correspondantes, de z d'une part, et de x et de y y d'autre part, satisfait à une équation de la forme

dont le premier membre est un polynôme entier et rationne! en Xy y y z.

Les fonctions transcendantes sont toutes celles qui échappent à la définition précédente, comme

y=za'^, J = log^, j = sina7, jzzitangx,

y 5 = marctang — •

W7. Tout polynôme entier en x^ tel que

où m est un nombre entier et positif et Ao, Ai, Af, ..., A^des nombres constants, est une fonction entière de x. Le quotient de deux polynômes entiers en Xy tel que

Aq J7^ 4- A| j?"*-^ 4- Aa g?^»-' H- ... H- A;n-i ^ + A Boo:'* H- Bi j;'*-^ -f- ^x^''-' H- ... -h B«, x-^%,

est une fonction rationnelle de x.

Lorsque la fonction algébrique définie {kk6) par l'équation

est du premier degré en y, on voit qu'elle donne précisément pour j' : ou un polynôme entier en ^, c'est le cas de lafonc^ lion entière; ou le quotient de deux polynômes entiers en Xy c'est le cas de la fonction rationnelle.

&48. L'étude des fonctions entières constitue précisément la Théorie générale des équations {Algèbre supérieure, !!• Partie). Quant aux fonctions rationnelles, nous examinerons également dans cette seconde Partie la décomposition importante à laquelle on peut toujours les soumettre {Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples).

U9. Une fonction est dite explicite, lorsqu'elle est exprimée immédiatement au moyen des variables dont elle dépend, c'est-à-dire lorsque les opérations à effectuer sur les valeurs des variables pour obtenir les valeurs correspondantes de la fonction sont indiquées immédiatement par les signes connus.

Ainsi les fonctions

y'=.x± \/x^ — a*, yz=i\o%x

sont des fonctions explicites de :r : la première est algébrique, la deuxième est transcendante.

La forme générale des fonctions explicites est

450. Une fonction est dite implicite, lorsqu'elle est mêlée aux variables dont elle dépend dans des équations non résolues, de sorte que les opérations à effectuer sur les valeurs des variables pour obtenir la valeur correspondante de la fonction n'apparaissent pas; ou bien, lorsque la fonction est liée aux variables par des conditions non exprimées.

Si l'on a, par exemple,

t^x^ — '^xy -h y^ — 3 a* 1= o,

y est une fonction implicite de x, comme x une fonction implicite de y. En résolvant l'équation donnée par rapport

376 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

à l'une des variables j, on passe de la fonction implicite à la fonction explicite

La forme générale des fonctions implicites est

Extension de l'idée de fonction. Intenralles. Fonctions finies et non finies.

k&i. On peut étendre Tidée de fonction. Nous n'indiquons cette extension qu'à un point de vue absolument théorique, et pour faciliter la compréhension des notions qui suivront.

Nous dirons d'abord un mot de ce qu'on entend par un ensemble de nombres.

Quand des nombres satisfont exclusivement à une certaine condition déterminée, ils forment un ensemble : ils peuvent être rationnels ou irrationnels, égaux ou inégaux, en nombre fini ou inflni.

L'ensemble de ces nombres est défini, lorsqu'on peut reconnaître que tel nombre donné appartient ou non à l'ensemble. Ainsi, les nombres entiers forment un ensemble,, d'où sont exclus immédiatement les nombres fractionnaires et les nombres incommensurables.

Quand aucun des nombres considérés ne surpasse une certaine limite L, l'ensemble admet une limite supérieure L; quand aucun de ces nombres ne tombe au-dessous d'une certaine limite /, l'ensemble admet une limite inférieure l. Ou bien les deux limites seront atteintes et feront partie de l'ensemble, ou bien on pourra en approcher autant qu'on voudra.

hS2. Cela posé, prenons un ensemble de nombres tous distincts et regardons-les comme les valeurs attribuées à une variable a:. Si, à chacune de ces valeurs de a:, on fait correspondre un nombre 7, on peut dire que y est une fonction définie de a: pour les nombres appartenant à Tensemble choisi.

Soient maintenant deux nombres quelconques a et 6 (a<6).. On peut appeler intervalle {a, b) l'ensemble de tous les nombres, rationnels ou non, compris entre a et b, les deux extrêmes a ei b faisant aussi partie de l'intervalle.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'i'J^

Vétendue de Tintervalle est alors la différence b--a; et si les nombres a\ b' appartiennent à Tintorvalle (a, b)^ l'intervalle («', b') lui-mônne est contenu dans l'intervalle (a, b).

Pour qu'une fonction y de :r soit définie dans l'intervalle (a^d), il faut qu'à chaque valeur de x représentée par un des nombres de l'intervalle corresponde une valeur déterminée de fy qu'on peut d'ailleurs assigner d'une manière complètement arbitraire.

On obtiendra par cette voie les fonctions les plus variées, sans grande utilité apparente, il est vrai; car ce sont les besoins et les développements de la Science qui ont conduit et qui conduisent, successivement et naturellement, à l'étude des fonctions présentant un véritable intérêt. Les considérations précédentes vont néanmoins nous servir à préciser des points délicats.

453. Une fonction j = F(:r) définie dans l'intervalle (a, b) a, par hypothèse (452), une valeur déterminée pour chaque valeur de la variable x appartenant à cet intervalle.

Toute fonction entière de x est évidemment définie dans un intervalle quelconque. Il en est de même de toute fonction rationnelle de x^ pourvu que l'intervalle considéré ne renferme aucune valeur de x annulant le dénominateur de la fonction (447).

Une fonction est ^xie finie dans l'intervalle (a, 6), s'il existe un nombre positif A tel que, dans cet intervalle, chaque valeur de la fonction soit, abstraction faite du signe, inférieure à A.

Lorsqu'une fonction j=:F(a:) est finie dans un intervalle (a, 6), elle admet, en général, dans cet intervalle une limite supérieure L et une limite inférieure /, c'est-à-dire que chaque valeur de j, pour une valeur de x appartenant à l'intervalle considéré, est au plus égale à L et aa moins égale à /. En effet, quelles que soient les variations de la fonction, elle ne pourra pas, par définition, s'élever positivement au-dessus de -h A, et elle ne pourra pas descendre négativement audessous de — A.

Il est clair que A peut se confondre, en valeur absolue et sauf un infiniment petit, avec L ou avec /. Dans tous les cas, si L et / sont de mêmes signes, on a forcément L > /; et cette condition est remplie a fortiori, si L et / sont de signes contraires.

D'après cela, la différence L — /, où L et / entrent avec leurs signes, est toujours positive. Cette différence (qui peut être nulle) est Voscillation de la fonction dans l'intervalle (a, h).

Cette oscillation a évidemment 2 A pour limite supérieure, en admettant que L et / soient de signes contraires et aient même valeur absolue; elle peut être beaucoup plus faible.

Si l'on divise l'intervalle (a, ô) en /i intervalles partiels et si l'on désigne dans chacun d'eux, par Lj, L,, L3, . . ., L^, les limites supérieures de la fonction et par /i, /„ /j, . . ., /«, ses limites inférieures, L sera le plus grand des premiers nombres et /, le plus petit des seconds.

L'oscillation de la fonction dans un intervalle {a'^b') contenu dans l'intervalle (a, b) (4.52), est au plus égale à Voscillation L — /.

454.. Soient une fonction jz=F(j?) définie dans l'intervalle (a, b) et deux valeurs quelconques de la variable, x^ et vT], appartenant à cet intervalle.

A étant un nombre positif donné, si l'on a, en valeur absolue, pour la différence des valeurs correspondantes de la

fonction,

on peut affirmer que la fonction est finie dans l'intervalle considéré (453).

En effet, sa valeur absolue reste, dans cet intervalle, toujours inférieure à F (a) 4- A.

Son oscillation est, en même temps, au plus égale à A (W3).

W5. Réciproquement, si une fonction y = F (a:) est définie dans l'intervalle (a, b) (4.52), sans être finie (453), cela signifie que, quel que soit le nombre positif donné A, il y a, dans l'intervalle (a, ô), au moins une valeur de x telle, que la valeur absolue de F(a?) surpasse A.

Si l'on divise alors l'intervalle («,6) en un nombre quelconque n d'intervalles partiels, il y aura au moins un de ces intervalles partiels (^1,^1) pour lequel la fonction ne sera pas finie et pour lequel on aura, en valeur absolue (454),

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. i'jg

De la continuité des fonctions d'une seule variable.

466. On dit qu'une variable est continue clans un certain intervalle, lorsqu'elle ne peut passer de sa première valeur à la dernière sans parcourir toutes les valeurs intermédiaires (Alg. élém., 310).

Il est entendu que ces valeurs peuvent être négatives ou positives, et que leur ordre de grandeur est toujours réglé d'après la définition adoptée précédemment {yilg. élém.,2iky 218).

Par exemple, la variable a? est continue dans l'intervalle ( — 5, — 3), lorsqu'elle ne passe d'une limite à l'autre qu'en prenant toutes les valeurs négatives dont la valeur absolue est comprise entre 5 et 3. De même, elle est continue dans l'intervalle (—2,7), lorsqu'elle prend successivement la valeur — a, toutes les valeurs comprises entre — 2 et 7, et la valeur 7. Les valeurs intermédiaires sont ici toutes les valeurs négatives de — 2 a o, le nombre o lui-même, et toutes les valeurs positives de o à 7.

W7. Il faut maintenant définir la continuité d'une fonction/=F(a?) dans un intervalle (a, 6).

Soient Xi et o:, deux valeurs quelconques de a; appartenant à l'intervalle, et h un certain nombre positif tel qu'on ait

(i) Xi — x^<^h.

Désignons par k un autre nombre positif. La fonction sera continue dans l'intervalle (a, 6), si l'on a, en même temps que (1), et en valeur absolue,

(2) FCo-O-FC^aX/r.

458. Remarquons i\\ïune fonction continue dans l'inter^ valie (a, b) est nécessairement finie (453) dans cet intervalle.

On peut, en effet, choisir k arbitrairement et déterminer ensuite la valeur corrélative de h (457); puis, diviser l'intervalle (a, b) en un nombre n d'intervalles partiels, tel que chacun d'eux soit moindre que h. La valeur de la fonction restera alors (454) moindre que F(a)4-A: dans le premier intervalle partiel, moindre que F (a) -h a A* dans le deuxième

38o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

intervalle, ..., moindre que F{a)-^-nk dans le /i**°*° intervalle. Elle sera donc finie dans Tintervalle (a, b) (4.54).

On voit, en même temps, que l'oscillation de la fonction continue dans chaque intervalle partiel sera au plus égale à k\ car, s'il n'en était pas ainsi, on aurait en même temps que x^ — ^i< A, et contre Thypothèse, F(a;|) — F(x,) > k.

/i-SO. Réciproquement, si la fonction F(^) est finie dans l'intervalle (a, b), elle est continue dans cet intervalle.

En effet, on peut alors diviser l'intervalle {a, b) en n intervalles partiels tels, que dans chacun d'eux l'oscillation de la fonction soit moindre qu'un nombre positif donné k (/i53). En désignant alors par h un nombre positif moindre que l'étendue du plus petit de ces intervalles partiels, on pourra prendre deux valeurs œ^ et r^ de la variable Xy appartenant à l'intervalle (a, b) et présentant une différence inférieure à h.

Si x^ et ^j appartiennent à un môme intervalle partiel, on aura nécessairement (453)

en même temps que

Si a?i et x^ appartiennent à deux intervalles partiels contigus, dont l'origine commune réponde à une certaine valeurX de la variable x, on aura

c'est-à-dire

La continuité de la fonction ¥{x) dans l'intervalle (a, b) est donc établie (457).

4-60. La fonction ¥{x) étant continue dans l'intervalle (a, 6), si, au lieu de prendre, dans cet intervalle, deux valeurs quelconques x^ et ^j, on suppose que la variable x croisse d'une manière continue (456), il est clair que la différence Xi— x^ tendra vers zéro autant qu'on voudra, en même temps que le nombre positif A qui est simplement une limite supérieure de x^ — x^ (457).

D'autre part, le nombre n des intervalles partiels pour cha-

ALGÈBRE SUPÉRIEUHE. 38 1

cun desquels l'oscillation de la fonction esl moindre que le nombre positif k (/»58) tendant alors vers rinfini, tandis que l'oscillation totale de la fonction dans l'intervalle {a, b) est une quantité finie qui a pour limite supérieure nk (4.68), le nombre A:>F(j7i) — F(^i) tendra aussi vers zéro {Alg, élém.,\\%). On peut donc dire encore que, si une fonction y:=iY{x) est continue dans un inten^alle (a, 6), elle est continue pour chaque valeur de a: appartenant à cet intervalle, en ce sens qu*à un accroissement infiniment petit (336) de la variable x correspond toujours un accroissement infiniment petit de la fonction y y de sorte que, la variable passant d'une certaine valeur à une valeur infiniment voisine^ il en est de même de la fonction,

4.61. Réciproquement, si une fonction yz=iY{x) est continue pour chaque valeur de X appartenant à un intervalle (a, 6), dans les conditions qu'on vient d'indiquer (460), elle est continue dans ce même intervalle (457).

Il faut bien comprendre d'abord que cette proposition n'est pas évidente et qu'elle a besoin d'être démontrée.

Et, en effet, si la fonction yi=:¥{x) est continue dans l'intervalle («, b) pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, on peut, en se donnant le nombre positif A:, faire correspondre à chaque valeur de x un nombre positif A, tel que l'oscillation de la fonction soit moindre que k dans tout intervalle partiel moindre que A, qui comprend x. Mais on ne peut pas affirmer a />/'ior« que toutes les valeurs de h ainsi trouvées et qui sont seulement plus grandes que zéro soient supérieures à un certain nombre positif A' : ce qui permettrait de conclure immédiatement que, dans tout intervalle partiel moindre que h' compris dans {a,b), l'oscillation de la fonction est moindre que k, et qu'elle est, par suite, continue et finie dans l'intervalle (a, b) (457).

Admettons donc que, de quelque manière que l'intervalle (a, b) ait été divisé en intervalles partiels, l'oscillation de la fonction, t/a/i5 Vun, au moins, de ces intervalles, soit égale ou supérieure à k. Nous allons montrer que cette supposition entraîne nécessairement la non^continuité ou la discontinuité de la fonction pour une certaine valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b).

Supposons qu'on divise cet intei'valle en lo** parties égales.

Les valeurs successives de la variable œ^ qui correspondront aux extrémités des intervalles partiels obtenus, seront évidemment

* 10'* lO'* lO*

A mesure qu'on poursuivra Topération, c'esl-à-dire qu'on fera croître Venlier /i, l'étendue d'un intervalle partiel, représentée

par j tendra vers zéro autant qu'on voudra. Il en résulte

que, dans celui où, quel que soit /i, l'oscillation de la fonction est supposée égale ou supérieure à A-, les deux extrémités se rapprocheront indéfiniment d'une certaine valeur de x comprise dans cet intervalle partiel et pour laquelle, par conséquent, la condition F(j7, ) — F(^,) < A: ne pourra plus être remplie. La fonction, pour cette valeur spéciale de ^, ne serait donc plus continue (W7).

Mais, puisque, par hypothèse, elle est continue pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle (a, 6), il est impossible d'admettre l'existence d'un certain intervalle partiel où l'oscillation de la fonction serait égale ou supérieure à k. Dans tous, cette oscillation est donc inférieure à kj et la fonction est continue dans l'intervalle (a, b) [ftâ7].

Exemples de fonctions continues dans le cas d'one seule variable.

462. I. Toute fonction entière de x est une fonction continue (4W).

Nous considérerons d'abord la fonction (i) y = \xP,

p étaht un nombre entier et positif, et  un nombre constant. C'est \di fonction simple algébrique dans le cas d'un exposant entier et positif.

Supposons que la variable x^ à partir d'une valeur quelconque, reçoive l'accroissement A. La fonction / deviendra

et prendra l'accroissement A:, qui aura pour expression» en

retranchant les équations (i) et (a) et d'après la formule du binôme»

^^^ i = kïpxP-'h -^ ^^^ '^ ^^P-^h^ -^ . . .^ hp].

Il est facile de prouver que chacun des termes du second membre de cette expression peut devenir moindre qu'une quantité donnée 8 aussi petite qu'on voudra, en donnant à h une valeur sufflsamment petite.

Posons, en effet, le terme général

On en déduit

-^ i.îî.3.../i.(î

et l'on voit qu'il suffit de donner à l'accroissement h une valeur moindre que la racine «»*"• du second membre de cette inégalité, pour que le terme général soit plus petit que d.

Hais, si l'on peut attribuer à h une valeur telle, que chacun des termes de l'accroissement k, dont le nombre est />, soit moindre que d, l'accroissement k lui-même sera alors inférieur h pi.

Par conséquent, pour que cet accroissement soit moindre, à son tour, qu'une quantité désignée e aussi petite qu'on voudra, on n'a qu'à poser /> 3 < e et à prendre

Ainsi, lorsque, pour chaque valeur de la variable x, l'accroissement h assigné à cette variable reçoit une valeur sufllsamment petite, l'accroissement k pris par la fonction y peut devenir lui-même plus petit que toute quantité donnée. La fonction y^=ikxP est donc une fonction continue de x (4-60, 461).

Soit, maintenant, une fonction entière quelconque de x

j = Ao^*^ -+- Ai^?'"-* -4- Aja?»*-* 4- ... H- A;,,«i.r -H A;„.

Nous venons d'établir qu'on peut donner à â? un accroissement

assez petit pour que raccroissement correspondant de chacun des m termes variables de la fonction soit moindre que toute quantité donnée. Il en sera dottc de même, d'après ce qui précède, de Taccroissement de la somme de ces m termes ou de l'accroissement total de la fonction ; ce qui démontre la continuité de toute fonction entière de œ,

463, IL La somme algébrique ou le produit de fonctions continues en nombre Jini est encore une fonction continue.

Considérons, par exemple, la démonstration étant analogue pour les deux, cas, le produit de p fonctions continues, telles que

F,(^)F,(^)F,(.r)...Fp(x).

Donnons à la variable x^ à partir d'une certaine valeur, un accroissement h. L'accroissement correspondant /: du produit aura pour expression

k=Y,{x -\- h)Y^{œ -^ li)V:,{x -^ h). . ,Yp{œ ^ h)

Les fonctions proposées étant continues, les facteurs qui composent le premier terme de cette expression tendent indéfiniment, à mesure que k diminue, vers F, (^), F,(j:), Fj(:f), ,,., Fp(j?), qui sont alors leurs limites. Comme il y a un nombre fini p de facteurs, la limite de leur produit est égale au produit de leurs limites (343). Il en résulte que le premier terme de la valeur de k s'approchant indéfiniment du second terme de cette valeur, k diminue autant qu'on veut et peut devenir moindre que toute quantité donnée pour h assez petit, ce qui justifie l'énoncé.

k&^. m. Le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue.

Cette proposition est soumise à une restriction (453).

Lorsqu'il y a continuité, la fonction a pour chaque valeur

de la variable une valeur finie et déterminée (4-58).

¥ ix) Si l'on a comme fonction le quotient —-7 — [^ il ne fautdonc

considérer Xy au point de vue du théorème à démontrer, que dans un intervalle où aucune de ses valeurs ne puisse annuler lé dénominateur F, {œ) ; car, pour une pareille valeur, Texpres-

ALGÈBRE SUPÉRIEURF.. 385

sion de la fonction n'aurait plus aucun sens, du moins par elle-même. Dans tous les cas, comme le quotient proposé croît alors sans limite à mesure que x s'approche delà valeur qui, laissant le numérateur fini, annule le dénominateur, ce quotient, dans cette hypothèse, ne peut plus être une fonction continue.

Le théorème ne peut donc être vrai que lorsque œ se maintient dans un intervalle tel, qu'aucune valeur de x ne puisse annuler le dénominateur Fj(^).

Cette condition étant supposée remplie, donnons à ^, à partir d'une certaine valeur, un accroissement h. La fonction prendra un accroissement correspondant A:, représenté par

FiC^-^/i) ¥,{x) ¥,(x~^h)Y^ {x) — Fi {x)Y^{a' -^h) ""F,(a:-+-/r) 'F,(^) 'F,(.r)Fs(x"-t-A)

Or, à mesure que h diminue, le dénominateur de cette expression s'approche autant qu'on veut de Ft(a?) , tandis que le numérateur converge évidemment vers zéro, puisque les fonctions données sont continues. Il en résulte que la condi-

Fi ix) lion de continuité est remplie par la fonction , , ^ > sous la

réserve de la remarque précédente.

Le théorème subsiste quand le numérateur ^i{x) se réduit à une constante.

i|^65. IV. Toute racine cT une fonction continue est une fonction continue, dans tout intervalle oà cette racine conserve une valeur réelle (130, 131).

Soit la racine/)»*™* d'une fonction continue F(a?), considérée dans un intervalle où cette racine demeure réelle. Donnons à a:, à partir d'une certaine valeur, un accroissement h. L'accroissement correspondant k pris par la fonction sera

Il faut. prouver qu'on peut toujours rendre k aussi petit qu'on voudra, en donnant à h une valeur suffisamment petite. Nous emploierons ici la méthode de réduction à l'absurde {Géom,y^k),

Si k ne satisfaisait pas à la condition indiquée, il resterait supérieur à une quantité désignée d, quelque petit que fût h,

Db C. — Coure, ni. nS

386 ALGÈBRB SUPÉRIEURE.

cle sorle qu'on aurait alors

ou

Or celte inégalité est impossible; car, h tendant vers zéro, la limite du premier membre est F(j:), puisque cette fonction est continue, tandis que le second membre est un nombre constant, évidemment supérieur à F(^).

k peut donc devenir aussi petit qu'on veut pour h assez petit, et la fonction Ç^F(x) est continue si elle est réelle.

466. La fonction donnée F{x) peut être une fonction entière de JF ou, ce qui revient au même (302 et suiv.), une pareille fonction élevée à une puissance entière. Il est, par suite, permis de dire qu* une fonction entière de a: éles^éeà une puissance fractionnaire quelconque est encore une fonction continue, pourvu que la condition indiquée (465) soit remplie.

11 en est de même d'une fonction entière de x élevée à une puissance négative {k%k).

En résumé, toute fonction entière de x élevée à unepuissance quelconque, entière ou fractionnaire, positive ou néga^ tiçe, ne cesse pas d'être une fonction continue, sau f la restriction ci-dessus.

Cas des fonctions de plusieurs variables.

kffJ, Les notions qui précèdent s'étendent aux fonctions de plusieurs variables.

Une fonction F{x,y, s), par exemple, peut être regardée comme continue dans un intervalle donné ou entre deux groupes de valeurs connues des variables Xy^, s, si elle reste constamment réelle et fmie dans cet intervalle, en variant par degrés insensibles, lorsqu'on fait varier x, y, z de la même manière dans les limites assignées.

Ainsi A» A:, / désignant les accroissements attribués respectivement à x^ y, Zy à partir d'un groupe de valeurs simultanées compris dans l'intervalle donnéjl'accroissement correspondant de la fonction, représenté par

F(a? H- A,/-+- Ar, c 4- 0- F(a:,/, 5),

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 38n

devra tendre vers zéro à mesure que h, k, l diminueronl, si la fonction proposée est continue.

En d'autres termes, dans cette hypothèse, si l'on fait tendre les variables x, 7, z vers des valeurs limites a, b, c, la fonction ^{^y y y -s) devra approcher indéfiniment de F(a, 6, c). C'est le principe général de la méthode des limites (3*8).

4.68. Nous croyons utile d'indiquer ici les propositions suivantes : la première se rapporte mx fonctions de fonctions et la seconde smx fonctions composées (voir Livre V).

469. I. Siy=:F{ûr) est une fonction continue de a: dans un certain intervalle, et si u=i(^{y) est une fonction continue de y dans cet intervalle, u est une fonction continue de x dans le même intervalle.

Car, si l'on donne à j?, à partir d'une certaine valeur appartenant à l'intervalle considéré, un accroissement infmiment petit, j^ prendra à son tour un accroissement infiniment petit, de sorte qu'il en sera de même de u. Par conséquent, lorsque^ prend un accroissement infiniment petit dans les limites assignées, u prend aussi un accroissement infiniment petit. Dans ces limites, u est donc une fonction continue de x,

WO. II. u et V étant des fonctions continues de x dans un intervalle donné, siF{u,v) est une fonction continue de u et de V dans le même intervalle, F{u,.v) est, dans cet intervalle, une fonction continue de œ.

Car, si l'on donne à a:, à partir d'une certaine valeur prise dans l'intervalle considéré, un accroissement h, u qi v prendront à leur tour les accroissements respectifs a et j3 et deviendront 1/ h- a et i' -h p. L'accroissement correspondant de la fonction F(£/, v) sera alors

En vertu de la continuité supposée et pour h assez petit, a et p tendront vers zéro autant qu'on voudra. Il en sera donc de môme de l'accroissement de la fonction F (a, v). Par con* séquent, lorsque x prend un accroissement infiniment petit dans les limites assignées, F{u,v) prend aussi un accroissement infiniment petit et est une fonction continue de x dans les mêmes limites.

/i'Tl. Si Ton voulait mettre en évidence la part de chaque accroissement de c/ et de (^ dans l'accroissement total de F( u^ v)y on écrirait cet accroissement ( WO) comme il suit :

En faisant varier seulement u^ on a, en effet, comme premier accroissement de la fonction F(w, c),

puis, en faisant varier v à son tour- dans le premier résultat F(w-4- a, p), on a, comme nouvel accroissement de la fonction,

La somme des deux différences obtenues^ dont la première s*annule pour a = o et la seconde pour (3 = 0, est Taccroissement total de F(tt, v\ nul pour a = o et p — o.

Discontinuité.

472. En s'aidant du mode de représentation graphique, dont nous avons déjà donné un aperçu succinct en Algèbre élémentaire {Alg. élém,y 312 et suiv.), on prend une idée très nette de la continuité d'une fonction dans un certain intervalle, aussi bien que des particularités qui peuvent se présenter et interrompre cette continuité, comme nous l'avons vu en traitant quelques exemples choisis {Alg, élém., 314 à 321). On dit alors que la fonction est discontinue.

Ainsi, pour une certaine valeur attribuée à or, les opérations par lesquelles on doit en déduire la valeur correspondante de la fonction peuvent conduire à des résultats n'ayant par euxmêmes aucun sens, comme — ou oo, -j o.oo, .... Il faut, dans

ce cas, faire tendre x indéfiniment vers l'une des valeurs qui entraînent ces résultats et chercher vers quelle limite converge la valeur simultanée de la fonction. Si cette limite existe ou est susceptible d'interprétation, elle fait connaître la valeur de la fonction pour la valeur spéciale de x qu'on a considérée. *

Si l'on trouvait deux limites différentes de la fonction, comme ±:oo, par exemple {Alg. élém. y loco cit.)^ pour une

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SSq

valeur xz=zxif la fonction s'approcherait indéfiniment de Tune ou de l'autre de ces deux limites, à mesure que la variable x tendrait vers j?], en restant constamment plus grande ou plus petite que celte valeur a:^.

473. Nous terminerons ces notions en citant encore un cas où il y a, pour ainsi parler, à la fois continuité et discontinuité. C'est celui où la fonction admet régulièrement plusieurs valeurs pour chaque valeur assignée à la variable dans un certain intervalle.

C'est ce qui a lieu, par exemple, en général, pour une fonction algébrique F(jf, 7)=: o (W6), où/ entre à un degré supérieur au premier (449, 450).

La fonction est alors dite à détermination multiple.

Il faut, dans cette hypothèse, pour étudier la continuité réelle de la fonction, isoler les différents systèmes de valeurs ainsi associés, c'est-à-dire ne joindre à la valeur de x qu'une seule des valeurs correspondantes de y»

Les remarques que nous venons de faire sur la discontinuité et que la Géométrie analytique (t. V) mettra dans tout leur jour s'appliquent à plus forte raison aux fonctions de plusieurs variables.