I. Quand X croît indéfiniment, le rapport ^^ dimi

nue ou croit, en tendant toujours indéfiniment vers zéro, suivant que a est plus grand ou plus petit que i .

Pour j: = oo, le rapport considéré prend la forme indéter-

minée + — (496). Nous allons lever cette indétermination

{Alg. élém., 119).

Si le nombre x di y pour logarithme dans le système dont la base est a, on a, par définition (491),

^=ar et Î5?^=Z.

X ay

!• Soit a> I.

X et 7 croissent ensemble indéfiniment (491, 496). Mais,

a^ d'après la limite trouvée pour le rapport — » quand Xy positif,

ce

croît indéfiniment (487), on voit immédiatement que te rap-

port inverse ~= ou -^ décroît et tend indéfiniment vers zéro, ^ a^ ay '

lorsque x o\x y croît indéfiniment. Il en est donc de même du rapport •

420 ÀL6ÈBEE SUPÉRIEURE.

2<» Soit a < I .

Pour que su croisse indéfiniment, il faut que y soit négatif et croisse indéfiniment en valeur absolue (509). Posons donc

« = i («'>0 et 7 = -/ (/>o). On a alors

y D'après ce qu'on vient de dire (i**), le rapport positif -^ dirai-

nue et tend indéfiniment vers zéro, quand y croît indéfini-

y' ment. Le rapport négatif — '^, croîtra donc, en tendant éga-

loff ^ lement vers zéro, et il en sera de même du rapport ^"^ •