Si Ton veut passer à la différentielle de /, on a

En substituant dans la relation (2) du n"" 564 et en mulLiplianl par dœ^ il vient

(I) dy=Y'{u)f'{v)^'{a:)dx.

Telle est l'expression du principe de la.dijférentiation des fonctions de fonctions. Comme on a (553, 549)

on peut encore écrire

dy\ f du\

ou, plus simplement.

Il faut remarquer avec soin que dy et dv sont les différentielles de y et de f prises par rapport à a:, tandis que jf- ^^ -r

sont des symboles représentant les dérivées de y par rapport

dy à u et de u par rapport à r. Dans -^-^ u représente la variable

indépendante; dans ^j u représente la fonction.

Expression de raccroissement infiniment petit d'une fonction

de plusieurs variables.

566. Nous avons déjà indiqué ce qu'on devait entendre par les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables, quand cette fonction était entière (332). Nous allons généra- ! User cette notion fondamentale, en y ajoutant celle des di£é-

rentielles partielles et en considérant une fonction composée quelconque.

Nous prendrons d'abord une fonction y dépendant de deux variables u et r, et nous allons voir que l'accroissement infi-

4LGÈBRE SUPÉRIEURE. 4^9

niinent petit d'une pareille fonction peut s*exprimer comme celui d*une fonction d'une seule variable, à Taide d'une expression simple qui n'en diffère aussi que d'une portion infiniment petite de sa propre valeur.

Soit donc la fonction

Nous allons donner h u et h v des accroissements infiniment petits Au, Ap, qui seront ou non indépendants l'un de Tautre, suivant que les variables u et v seront ou non elles-mêmes indépendantes l'une de l'autre; j prendra alors un accroissement correspondant A/, et l'on aura

j-h A/ =:/(«-+- A«, r-f- Ac'),

c'est-à-dire, par soustraction,

/iyz=if{u -H Aw, V -\- Ar) — f{u, v).

En ajoutant et en retranchant dans le second membre la même quantité /(a -+■ Am, v), on peut évidemment mettre celte valeur de Aj sous la forme suivante (Wl) :

( 4-/{m-1- àuy (' + Ar) — /(w-h Aw, «')•

Cela posé, désignons pour un instant par/^(i£, i^) la dérivée partielle de /(w, t') ou de jk P^f' rapport à w, c'està-dire la dérivée de la fonction prise en regardant u comme une variable indépendante et v comme une constante.

L'accroissement de la fonction, quand on donne à u seulement l'accroissement lu, étant

/(m ^- Aw, (^) —/(//, (0, nous pourrons alors écrire (Si-S)

oc étant une quantité qui tend vers zéro et qui s'annule en même temps que Au.

De même, désignons par/'^(M -+■ Ai/, i>) la dérii^ée partielle de la fonction /(m h- Aw, ç) par rapport à v, c'est-à-dire la dérivée de cette fonction prise en regardant v à son tour comme une variable indépendante et u + Aa comme une constante.

46o ALGEBRE SUPÉRIEURE.

L*accroissement de la fonction /(«/ -h A//, i), quand on donne à r seulement l'accroissement A^>, étant

f{u ^ lu, r-f- Ar)— /(//-h Am, r),

nous pourrons écrire encore (545) /(«-hA//,r-+-Ar)-/(//-^A//,r) = [/;(i/-hA£/,r)-+-;3]Ar.

(3 étant une quantité qui tend vers zéro et qui s'annule en même temps que Ac.

Il est clair d'ailleurs que, si/'t,(//, r) eslisi dérivée partielle de f{u,v) ou de y par rapport à «', elle ne peut différer de/i,(a-+- Aw, i') que d'une quantité infiniment petite y qui s'annulera avec lu. En posant j3 -h y = a', l'expression précédente deviendra donc

(3) /(// -h lu, r 4- Ar) -/{u -h A^/, r) ^- [f[,(u, c) 4- a'] Ar.

En ajoutant membre à membre les équations (i), (2), (3) ot en simplifiant, il reste évidemment

ly=-\/'A^, O -^ a] A« -^ [/;(«, i^O + a'] Ar.

a lu est infiniment petit par rapport à la première partie de la valeur de Ay, et il en est de même de oc' Iv par rapport à la seconde partie de cette valeur (520, 530). Par suite, en désignant par w une quantité infiniment petite par rapport à Av, on peut poser

&) = (xlu •+- oc' Ar et écrire

(4) Ar —/„(''» <') ^ti 4-/U«, <') Ar -+- 0).

C'est l'expression que nous voulions obtenir.

On représente ordinairement les deux dérivées partielles /'u{u, r) et/^(«, i) par les notations

df{u,v) ^ df{u,v) ^ ^^ dy^^ dy du dv du dv

Seulement, il faut bien remarquer que, dans les expressions

-^> ^-, les deux dy sont différents, puisqu'ils représenteul

respectivement les différentielles de y relatives à la variation d'une seule des variables w, v, ou les dijférentielles partielles de r par rapport à // et par rapport à v.

\LGÈOnE SUPÉUIKCUE. {6 I

Pour éviter toute ambiguïté, on pourrait écrire les deux dérivées partielles en les enveloppant ainsi de parenthèses :

du ) ' \ ./i- )

On les a supprimées, en comptant sur Taltenlion du lecleur bien prévenu.

Avec cette notalion des dérivées partielles, on a

'^ du dv

D'après ce qui précède, rinfinimcnt petit d'ordre supérieur o) se compose d'une première partie «Aw qui, divisée par A«, devient encore nulle pour Ami^o, et d'une seconde partie a' Ar ou ({3 -h y) Ar qui, après avoir été divisée par At , contient des termes s'annulant, les uns pour A// — o, les autres pour At» - o.

On aurait des résultats analogues, comme il est facile de s'en assurer, pour un nombre quelconque de variables, dépendantes ou non les unes des autres ou d'autres variables.

Ces résultats vont nous conduire immédiatement à la dilFérentiution des fonctions composées.

Difiérentiation des fonctions composées.