Soit la fonction

et

u-=iY^x), i'^y(.r;, iri=r'|(^.r),

y sera alors uwq fonction composée de x.

Nous aurons, d'après ce qu'on vient de démontrer (506;, en supposant toujours des accroissements infiniment petits,

. dy dv . dv

Ay =: -r- A// -h -;- Ar -\- -j- Atr -f- . . . -f- r,) du ai' d\v

'O étant infiniment petit relativement à Aj.

En divisant par Aj; les deux membres de cette relation, il

vient

Ay dy lu dy Iv dy Aȕ' m

Ao? du Aj7 r/v^ Aj7 dw A.t- ' ' A.f

462 ALGÈDHE SUPÉRIEUnC.

£n passant alors aux limites (53^), ce qui est permis si le nombre des variables w, (% (*», . . . , est limité (34.1), on trouve

évidemment (3W), puisque (566) -^ devient nul, , , dy dy du dy dv dy dw

djT du d.v d\' dx d\v dx

Il ne faut pas oublier (566) que, dans cette expression, -^-^

dy dy

-^» ;y .' ' "' ^^"^ '^^ dérivées partielles de la fonction j par

rapport aux différentes variables w, v^ «', . . . , tandis que -7-)

dx

dv div

T'y -7-> •• ï sont les dérivées des variables ou des fonctions

dx dx

£1, v^ w, . . ., par rapport à x.

Quant au premier membre de Texpression (i), c'est, si Ton veut, la dérivée complète de la fonction 7, dans laquelle on fait varier toutes les quantités dépendantes de x.

On peut observer à ce sujet que, s'il arrivait qu'on eût, par

dy exemple, m =x, -~- deviendrait, dans le second membre de ^ du

l'expression (i), -f- et serait la dérivée partielle de la fonction par rapport à x seulement, le premier membre représentant toujours sa dérivée complète.

En résumé :

La dérivée de la fonction composée y est la somme de toutes ses dérivées partielles par rapport aux variables dont elle dépendy chaque dérivée partielle étant multiplié^ par la dérivée de la variable correspondante par rapport à x.

En multipliant les deux membres de l'égalité (i) par ds, on a (5^9)

(2) dyz=z~î-du^'^dv-\~-^dw^

^ ' *^ du dv dw

Si l'on regardait u comme seule variable, on aurait (549), pour la différentielle dy^

dy^=. -^du,

^ du

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^3

On peut donc dire» dans le cas de plusieurs variables, que -f-du est la dijférentielle partielle de la fonction y relativement à u.

D'après l'expression (a), le principe de la différentiation des Jonctions composées s'énoncera alors comme il suit :

La différentielle d*une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles par rapport à chacune des variables qui y entrent explicitement.

464 ALGCBUE SUPÉRIEDAE.