Soilla fonction composée

(l) V=//-hi'— /,

où M, r, ty sont (les fonctions de x dont les différentielles sont supposées connues et dont le nombre peut être quelconque, pourvu qu'il soit fini.

Si Ton donne à x un accroissement A^-, il en résulte pour les autres variables les accroissements simultanés

lu, Ar, A/, A)-, et Ton a

( 1 ) y -\- A v -^ Il ~ir Am -1- t' -h Ai' — t — A/.

Si l'on retranche la relation (i) de la relation (2), il vieiii

Av = Aw -+- Ai' — It et, en divisant par Ajt,

Av Au Al' A/

Aw Ax' A./- A./*

En passant aux limites, ce qui est permis si le non)bre des termes, soit positifs, soit négatifs, du second membre est limité, on trouve (5i9)

(iy du (iv dt

dx dx d,r dx

et, en multipHant de part et d'autre par dx,

dy -= du -^ dv -- df.

ALGÈBRE SUPÉRIEUnE. 4^5

La déf'ivée ou la dijférentielle d'une somme algébrique de fonctions de x est donc égale à la somme algébrique des dérivées ou des différentielles de ces fonctions.

Si Tune des fonctions considérées se réduit à une constante, sa dérivée est nulle ainsi que sa différentielle (54.9). Ainsi, dans la dérivation ou la différentiation de la fonction somme entendue dans un sens général, toute constante disparaît,