Soit d'abord la fonction composée
(i) y=fn\
où u et r sont des fonctions de jo.
Si l'on donne à j? un accroissement A,r, «, r et v prennent les accroissements simultanés
\fi, Ai', Av.
On a donc
{ >' -4- Av— (// -i- Am) (i- H- At')
( - uv -i- (' Am -+- u Al' -h Aw At».
Si l'on retranche la relation (i) de la relation (2), il vient
A )- 3= r Aw H- // Ar -h A// Ai* ou, en divisant de part et d'autre par Ar,
A)' Af£ Ar lu Ai'
En passant aux limites, ce qui est permis lorsque le second membre ne renferme qu^un nombre limité de termes (342), le dernier terme de ce second membre s'évanouit à cause de lim A^- — : o, et l'on trouve
f/y du dv
'— -HZ. 4'- — -i u
<ij- dx fLv
ou, en multipliant les deux membres par dx,
dr zz. V du -f- u d{\
La dérivée ou la différentielle du produit de de ujc fonctions est donc égale à la somme des produits obtenus en mailipliant chaque fonction par la dérii'ée ou la différentielle de l'autre.
571 . Supposons que la fonction u devienne une constante c, et que l'on ait
11 faudra faire dans les résultats précédents (570, &k9)
—- = o, e/a = o, et l*on aura dx
-j- z=:c -j- et ay=ic av.
dx dx "^
La dérivée ou la dijférentielle d'une fonction multipliée par une constante est donc égale à la dérivée ou à la différentielle de cette fonction multipliée par la même constante.
Si Ton considère spécialement la Ivoisième fonction simple
f—axy
on a immédiatement
dx
On aurait directement, en suivant la marche indiquée au
no 561,
y — ax,
y -t- Aj= a(x "h Ax) ; d'où, par soustraction,
A V =^ a Ax, -~j— = a, dyzzn a dx,
572, Revenons au produit de deux fonctions u et v (570)
et à la formule
dy =z V du -\~ u dv.
En divisant les deux membres par le produit/ = uv, on en
déduit
dy du dv
Le rapport de la différentielle d'une fonction à cette fonction a reçu le nom de différentielle logarithmique de la fonction.
On peut donc dire encore que la différentielle logarithmique du produit de deux fonctions est égale à la somme des dijfférentielles logarithmiques de ces fonctions.
Cette propriété, analogue à la propriété fondamentale des logarithmes, explique la dénomination employée.
Elle va nous permettre de trouver rapidement et élégamment la règle de diiférentiation du produit d'un nombre quelconque de fonctions, pourvu que ce nombre soit fini (570).
