Soit, par exemple
n étant fini et Wi, w,, Wg, . . ., u^ représentant des fonctions de J7.
Nous pourrons considérer le produit donné comme un produit de deux facteurs, mi d'une part, et u^u^,..Un d'autre part; puis, ce dernier produit comme un produit* de deux facteurs «s et ^3 . . . Un; et ainsi de suite. Nous aurons alors successivement (572)
dr dft^ d{ Uz W3 . . . u„ )
y Ui WjWs . . . Un
dui du^ d{ tii , . . u„)
Ui Wj W3 . . . u„
duy du^ duz d(. . . Un)
U\ Ui u^ . . . U,f
La dernière égalité ainsi obtenue sera
dy du* du 9 du^ du„
r //i //i W3 Un
et elle exprime que la différentielle logarithmique du produit d'un nombre quelconque de /onctions, ce nombre étant fini, est égale à la somme des différentielles logarithmiques de ces /onctions.
En multipliant les deux membres de cette égalité par v el en les divisant par dx, on a
dx Ui dx Wj dx Ui dx ' ' ' w„ dx
Si l'on multiplie seulement par/ les deux membres de la même égalité, on trouve
dy=: ^ du* -h — dut-\- — du^ -h ... -h -^ dua,
^ Ui ' U^ * Ui M„
On peut donc dire que la dérivée ou la dijférenlielle du produit d'un nombre quelconque n de fonctions y n étant fini, est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée ou la différentielle de chaque fonction par le produit de toutes les autres fonctions.
Si Tune des fonctions se réduit à une constante, le ternie qui contient sa dérivée ou sa différentielle disparait du second membre (538, 549); mais cette constante se retrouve dans lous les autres termes et peut être mise en facteur commun. Ainsi, dans la dérivation ou la différentiation de la fonction produit^ entendue dans un sens général, toute constante persiste (568).
Différentiation d'an quotient.
o7ï. Soit la fonction composée
o\x u Qlv sont des fonctions de .r.
On en déduit
et, en appliquant le théorème des différentielles logarilli-
miques (572),
dy dv du
Il en résulte
dy du dv
La différentielle logarithmique du quotient de deux fonctions est donc égale à la différentielle logarithmique du dividende moins la différentielle logarithmique du diviseur.
Multiplions par j:=- les deux membres de la relation précédente. Nous aurons
dy ^= "du dv
ou
, vdu — udv
^/= rt
/^'JO ALOEBRE SUPÉRIEURE.
et, en divisant par dx les deux membres de cette égalité,
du dv
dy dx dx
dx i>^
La dérivée ou la dijfé r en t telle d*un quotient de deux fonctions est donc égale à la dérivée ou à la différentielle du dividende multipliée par le diviseur moins la dérivée ou la différentielle du diviseur multipliée par le dividende, le tout divisé par le carré du diviseur,
