Si ]'on considère spécialement la fonction simple
quotient (557)
on doit faire le dividende u égal à une constante et le diviseur V égal à ^. On a ainsi (5'i9)
dy a , a dx
dx j?* " x^
La dérivée ou la différentielle est ici négative, parce que la fonction diminue quand la variable augmente. Les deux accroissements sont ainsi de signes contraires, et leur rapport est négatif.
On aurait directement, en suivant la marche indiquée au n^ 561,
.r -h Ax '
où.
par
soustraction,
On en déduit évidemment, en divisant par Hx et en passant aux limites,
dv a , adx
-7- — : ^l dv :=^ ;- •
dx X* " x^
Diflérentiatioii d'une puissance quelconque. 576. Soit la fonction composée
où u est une fonction de û; et m une constante.
Pour arriver à une règle complètement générale, nous devons distinguer plusieurs cas :
I* m est entier et positif,
y étant alors le produit de m facteurs égaux à a, sa différentielle logarithmique (573) est égale à la différentielle logarithmique de u répétée m fois. On a donc
dv
du
el, en multipliant de part et d'autre par y — m"*, il vient
dy =r mu"^~^ du.
2« m est fractionnaire et positif .
Soit mz=z ^, p el q étant entiers et positifs. U en résulte
p y— un.
En élevant à la puissance q les deux membres de cette égalité, on a
Ces deux fonctions étant constamment égales, leurs différentielles le sont (5^9), et il en est de même de leurs différentielles logarithmiques (572). On peut donc poser
dy'J duP
c'est-à-dire, puisque/) et q sont entiers et positifs (i^),
dy du
47 2 ALGÈBIIE SUPÉIUEURK.
On en déduit, en divisant par q et en multipliant par
dy ^^ u'i — = ^ M*/ du, ^ q II q
OU encore
dv '=■ niu'"~^ du.
3° m est un nombre négatif, entier ou fractionnaire.
Soit m:-—Fiy n étant un nombre positif, entier ou fractionnaire. Il en résulte
ou
ya^i^ I.
En appliquant au produit ju'' le théorème de la différentielle logarithmique (573) et en remarquant que i est une constante dont la différentielle est nulle (5tô), il vient
dv du^
y «'* c'est-à-dire, puisque n est entier et positif (i"),
dy du^ du
y II" u
En multipliant les deux membres de cette égalité par y — !/-'«, on trouve
, du . -
dv ^^ — /ii/~'* — = — nu-"-^ du,
ou encore
dy = mu'" "* du.
Cette dernière formule est donc complètement générale ei reste vraie, que l'exposant m de la puissance u*" soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif.
En divisant par do; les deux membres de la formule, on a, également d'une manière générale,
dy , du
-f- —mil"»-' -7-.
d.v dx
La dérivée ou la différentielle de la puissance m'*"»* d'une
A.LOEURE SUPÉniEURR. i'ji
/onction est donc égale à m fois le produit de la puissance (m — lyèmc fji^ la fonction par sa dérivée ou sa différentielle,
Sn. La diiïérentiation des radicaux est comprise dans la règle précédente.
Soit la fonction composée
y=: '\/u zzz U'**.
Nous aurons (576)
c'est-à-dire
