D'après ce qu'on vient de voir (576, 577), si Ton con

474 ÀLGÈBKE SUPÉRIEURE.

sidère la cinquième /o/ic/w/i simple (557)

on a, pour sa différentielle el sa dérivée,

dv dy r= mo'"^-'^ dx, -—■ = m jc'"-*.

djT

Si Ton considère la sixième /o/ic^/o/i simple (557)

on a, également, pour sa différentielle et sa dérivée.

dr dy I

Solution des questions précédentes par le principe de la dilférentiation des fonctions composées.

579. On peut résoudre facilement toutes les questions précédentes, à Taide du principe de la différentiation des fonctions composées (567).

Somme algébrique. Soit la fonction composée

où u^ K\ ty sont des fonctions de x. Nous aurons immédiatement (567)

, dy , dy , dv .

dy Mais -pt dérivée partielle de la fonction par rapport à a,

dv dy

est égale à i, et Ton a, de même (569), ^ = ' ®^ "^ =— i.

Il vient, par suite, comme précédemment (568),

dy =zdu -h dv — dt.

Produit. — Soit la fonction composée

où M, c, ty sont des fonctions de jc. On a toujours (567)

, dv , dy j dy j dy := ^ du -\- -y- dv -h -^ dt; du dv dt

mais, ici (571), -^ — vty -^ z=z ut, -^ — ui\ Par suite, on retrouve la formule (573)

dy =. vt du -4- ut dv -4- wc dt.

Quotient. — Soil la fonction composée

où u el V sont des fonctions de x. On a encore (567)

dy =^ ^ du -\ — r- dv, •^ du dv

D'ailleurs, ^ ^ - (571 ) et ^' ==- 4 (575). On relrouve du V ' dv i'*

donc aussi la formule (574)

, I - M , V du — u dv

dV:=Z -du r dv = ;:

Nous nous servirons encore du même principe pour démontrer un théorème important qui est d'un usage fréquent en Géométrie analytique (t. V).

Théorème des fonctions homogènes.

580. On dit qu'une fonction de plusieurs variables estAomogène et du degré m lorsque, en multipliant chaque variable par une variable auxiliaire quelconque ou une indéterminée t, la fonction elle-même se trouve multipliée par t"^.

Soit une pareille fonction représentée par

D'après sa défmition même, on aura

(i) f{tx,ty,tz, ,.,) = t'"f{x,Y,z, ..,).

On peut alors différentier ou dériver les deux membres de cette expression, en regardant t comme seule variable. Le second membre est, dans ce cas, le produit de la puissance V^ par une constante; le premier membre est une/onction composée de t, car on peut poser tx^=i u^ tr^= v, tz —. (v, ....

i'jS ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

En appliquant, d'une part, le principe des fonctions composées sous la forme (i) [567], en remarquant qu'on a (571)

fitjc dty rltz

dT ~ '^^ dt' *" -^^ lu -'^'

et, d'autre part, les règles relatives à la dérivation d'un produit et d'une puissance (571, 576), il viendra, en désignant, pour simplifier, la fonction par/ dans le premier membre,

df df df

dtx dty^ dtz "^ - ' '

Cette relation ayant lieu, quel que soit /, on peut supposer / = 1, et elle devient

i ^ dj df df .,

Cette égalité (2) constitue le théorème des fonctions homogènes. On peut donc l'énoncer comme il suit :

La somme des dérivées partielles d*une fonction homogène par rapport aux variables dont elle dépend, chaque dérivée partielle étant multipliée par la variable correspondante, est égale au produit de la fonction par son degré,

581. Désignons par (^{x^y-y z, . . ,) la dérivée partielle (566, 367) de la fonction homogène /(.r,r, ^, . . .) par rapport à x. Nous aurons

oi-r^y^z, .. .)

de

En considérant x comme seule variable dans le second

membre, on peut donc écrire successivement, d'après ce qui

précède (580),

dfitx, ty, tSy . . .) ^{tx, tr, tz, ...) = -^ — 'jl^ -

^ dt"'f(x,y,z,,.,) ^,^j df{x,y,z,,..) tdx dx

Z= ^'«-ï 0{Xy y, Zy . . . ).

11 en résulte immédiatement (580) que les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — i .

ALGÈBRE SUPÉAIEURE. 477

Exemples et applications.

582. Nous venons d'exposer les règles de dérivation el do différentiation qui concernent les fonctions algébriques explicites, et il nous resle à considérer les fonctions transcendantes. Mais, auparavant, et pour habituer le lecteur à la pratique de ces premières règles, nous présenterons quelques exemples et applications.

I** Soit une fonction entière de x ( i47)

y — Ao.r'«-H Ai-i'^-i-f- A2./'" 2 i__ .. A,„i x -\- A,„.

En appliquant les règles rolalivos à l'addition, à la multiplication et à rélévation aux puissances (TiOS, 371, 576), on a immédiatement pour sa différentielle

</>- =[mAo^'»-^-i-(//i — i)Ai.r'"-*-l-(/w — •2)A2J:"'-«-+-...H-Am-i]^*".

2* Soit une fonction rationnelle de x (447)

.r* — Gj7

On remarque que les deux termes de cette expression s'annulent pour x = I, ce qui prouve qu'ils sont tous deux divisibles par x — i (14) ou qu'ils admettent ce facteur commun. Si on le supprime, il vient

En appliquante règle relative à un quotient (574), on a

. dx{x — 5) — dj:(x — 3) a .

3* Soit la fonction composée

y z=. a-\-h sjx h -^- •

En appliquant les règles relatives à l'addition, à la multiplication, à la • division et à l'extraction des racines, il vient

[ 7. yx •* 2x yx J

On peut aussi transformer l'expression à l'aide des exposants fractionnaires et négatifs et écrire

jr^a-^bx"^ — cx-'^-^-gx *.

Il en résulte, d'après la règle relative aux puissances (576)