I -i. 1-1 d)' = - bx ^ djc -n CX-* dx gx * rfx
ou, comme précédemment,
\^'iyx •* IX ^x \ '\' Soit Ut fonction composée
j = ^ax^-k-bx-^c ou
f = y/«, en posant u = a.r*-h bx -r- c.
En appliquant la règle relative à l'extraction des racines (577), ainsi <iue les autres règles nécessaires, on a
, du , 'lax -H /; ,
d) — — ~ ou dj- = — - dx.
2 V " ••* ^<ix^ -h bx-h c
On trouvera de même, pour la fonction composée,
jr — '^ax^-hbx*-r- ex -+-
ar
OU
J - ^u . en posant u - ax^ -+- bx^ -+- ex -h g^
, du , 3/7.r*-+- a/>.r -h c ,
a» = —--,—- ou dr — — dx.
3v///« 3\/{ax^-^bx^-hex-i-gy
5° Soit la fonction composée
En appliquant la règle relative à la dilTérentiation d'un quolient (574).
nous aurons (56i)
Il - ^
(a^— x^)- dx — - x{a^ — x^) * C- - o.xdr:)
c'est-à-dire, en simplifiant,
dv = — dx.
En multipliant les doux termes de la fraction du second membre par (rt2__.^s)2^ on trouve finalement
d) J— dt — ^ dx.
ou
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
6" Soit ia fonction composée
y —. {ax"^ -\ b)P y — uP, en posant ax»* n
Nous aurons (576)
djr = puP-^du ou df =/>(«.«•"» -f- /;)/'-* d{ax'^-\- b)^
c'est-à-dire
ou
dy —p(a.i''"-+- b)P~^ max"^-^ dx dy — pniax^^-^ (ax^" -h b )/»-* dx.
583. 7* Chercher quelles sont les courbes où la sous-normale est, en tous les points, une quantité constante p.
Nous avons vu (Géom., 754) ce qu'on appelait sous-normale et soustangente d'une courbe.
Soit {fig. 6) la courbe quelconque AB, rapportée à des axes reclan-
Fig. 6.
gulaires Ox, Oy. Menons, en un point quelconque M, l'ordonnée MP, la tangente MT et la normale MN.
La projection PN sur Taxe Ox de la portion de normale comprise entre le point de contact M et le pied N de la normale sur Taxe, s'appelle la sous-normale au point M; de même, TP est la sous-tangente au même point.
Soient x Qi y les coordonnées du point quelconque M. Il s'agit de trouver l'équation j = /(x) de la courbe AB, c'est-à-dire la relation qui lie tes coordonnées variables x ai y d'après la condition imposée.
La figure donne
PN = MP tangPMN = MP tangMTx.
dY
Mais tangMTx représente précisément (53r5) la dérivée ^ de la fonction y = j{x\ MP est l'ordonnée.) et PN est la quantité constante
48o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
donnée p. On a donc
OU, en renversant l'ordre et en multipliant de part et d* autre par ^dx.
'ijr djr = ip dx.
Il est évident que le premier membre de cette égalité représente la différentielle dejr* et, le second membre, la différentielle de ipx. Les différentielles de ces deux fonctions de x étant constamment égales, ces fonctions elles-mêmes ne peuvent différer que par une constante arbitraire C(5i3, 549), et l'on a
y^— ipx -\~C.
Telle est l'équation cherchée. Elle représente, à cause de la constante arbitraire, toutes les paraboles qui ont p pour para/nètre {Géom,^ 738, 753, 756) et pour axe l'axe des x.
En effet, si une parabole, de paramètre /?, est rapportée à son axe et à la tangente au sommet {Ge'om.y 75i, 756), son équation est
j»= ipx.
Si, maintenant, sans changer Taxe des x, on déplace l'axo des j' parallèlement à lui-môme en le transportant, vers la gauche par exemple, à une distance quelconque k de sa position primitive, il faut évidemment changer j: en x — A-, et l'équation de la courbe prend la forme
c'est-à-dire, en posant C = — ipk,
.)•*= -xpx-^-C
584. 8° Chercher Les courbes où la longueur MN de la normale {fig. 6 ) esty en tous les points, e'f^ale à une constante a.
En se reportant à la figure, on doit avoir ici Mais nous venons de trouver, dans la question précédente,
Nous aurons donc, en substituant dans la relation (i).
Cette équation est satisfaite pour
)misque cette condition entraîne (535)
djr dx
€ne première solution du problème est donc donnée par les deux droites menées de part et d'autre de l'axe des x, parallèlement à cet axe, à la distance a.
Laissant de côté cette solution, on déduit do l'équation (2)
OU
, Y dy o.r dr
Le premier membre de cette égalité représente la différentielle de x, xandis que le second membre représente évidemment (577) la différen-
lielle de — i/a* — 7* . Ces deux quantités ne peuvent donc différer que par une constante arbitraire c, et l'on a
J7 = V^rt* /•* H- Cy
c'est-à-dire
Telle est l'équation cherchée. Elle représente tous les cercles de rayon o, ayant leurs centres sur l'axe des x.
En effet, quand le centre du cercle de rayon a est à Torigine des coordonnées, son équation est {Gédm., 75 i)
Si Ton déplace, maintenant, l'axe des 7, comme dans le cas précédent, vers la gauche par exemple, en le transportant à la distance c, il faut changer précisément x en x — c, et l'on a, pour Téquation du cercle,
Remarquons que les deux droites de la première solution sont les tangentes indéfinies, parallèles à l'axe des x, qui enveloppent tous les cercles de la seconde solution. Cette seconde solution renferme d'ailleurs évidemment la première,
Dk C. — Couri, IH. 3 1
